춘의동고2수학과외

춘의동고2수학과외: 등차중항은 계산보다 성립 조건을 먼저 확인해야 합니다

춘의동에서 통학하며 학교 과제와 지필평가를 함께 준비할 때는 짧은 수열 문제도 풀이 순서를 분명히 남겨야 합니다. 춘의동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 소명여자고등학교·심원고등학교·상동고등학교 등 같은 원미구의 통학권 학교 자료를 참고할 수 있습니다. 이때 등차수열 문제에서 자주 생기는 오류는 공차 관계를 확인하기 전에 숫자부터 계산하는 것입니다.

3, x, 11에서 x를 바로 계산하면 생기는 문제

세 수 3, x, 11이 이 순서로 등차수열의 연속한 세 항이라고 하겠습니다. 등차수열에서는 이웃한 항의 차가 같아야 하므로

x - 3 = 11 - x

입니다. 따라서

2x = 14,　x = 7

이 됩니다. 실제 풀이에서 산술평균을 떠올려 (3+11)/2=7이라고 쓰는 것은 결과 자체는 맞습니다. 그러나 가운데 항이 양옆 두 항의 등차중항이라는 조건을 확인하지 않고 계산부터 시작하면, 숫자의 배치가 바뀌었을 때 판단이 흔들릴 수 있습니다.

등차중항 공식이 적용되는 범위

세 항 a, b, c가 연속한 등차수열을 이룰 때만

b-a = c-b

에서 2b=a+c, 즉 b=(a+c)/2를 사용할 수 있습니다. 여기서 반드시 확인할 것은 다음 세 가지입니다.

• b가 가운데 항인가?
• 세 수가 연속한 항으로 제시되었는가?
• 양쪽 차가 같은가?

예를 들어 3, x, 11이 등차라는 조건 없이 세 수 중 하나를 정하는 문제라면 등차중항 공식을 임의로 적용할 수 없습니다. 또한 x, 3, 11이 연속한 등차수열이라면 3-x=11-3이므로 x=-5가 되어, 배열에 따라 가운데 항이 달라지고 답도 달라집니다.

풀이 줄 옆에 빠진 조건을 되살리는 훈련

답안 첫 줄에 계산만 남아 있다면 그 줄을 지우지 말고 옆에 “세 항이 이 순서로 연속한 등차수열”이라고 적습니다. 그다음 공차를 두 방식으로 비교합니다.

3, 7, 11에 대해
7-3=4, 11-7=4

처럼 직접 확인하면 산술평균의 결과와 등차수열의 조건이 연결됩니다. 반대로 처음에 x=(3+11)/2만 적었다면, 왜 가운데 항에 이 공식을 적용했는지 설명하는 문장을 추가해야 합니다.

조건이 바뀐 등차중항 확인

힌트 없이 다음 문제를 풉니다.

14, y, 2가 이 순서로 연속한 등차수열일 때 y를 구하여라.

풀이가 막히면 정답을 바로 찾기보다 막힌 위치에 표시합니다. 가운데 항 조건을 적은 뒤

y-14 = 2-y

를 세웠다면 2y=16, 따라서 y=8입니다. 마지막으로 8-14=-6, 2-8=-6을 확인해야 합니다. 숫자가 달라져도 가운데 항의 위치와 양쪽 공차를 스스로 표시했다면 등차중항을 계산이 아닌 조건으로 적용한 것입니다.