춘의동고1수학과외, 축과 원이 만나는 조건을 거리로 읽기
춘의동에서 통학하며 학교 프린트와 과제를 이어서 풀다 보면, 원의 방정식 문제에서 식부터 세우는 습관이 먼저 나타날 수 있다. 하지만 원과 x축 또는 y축의 접점 문제는 중심과 축 사이의 거리를 그림에 표시하는 순간 조건이 간단해진다.
연립하기 전에 중심의 위치를 표시한다
원의 방정식이
(x-3)2+(y+2)2=25
라면 중심은 (3,-2), 반지름은 5이다. x축의 방정식은 y=0이므로 중심 (3,-2)에서 x축까지의 거리는 2이다. y축까지의 거리는 중심의 x좌표의 절댓값인 3이다.
따라서 이 원은 x축과의 거리가 반지름보다 작아 두 점에서 만나고, y축과도 두 점에서 만난다. 축과 접하려면 중심에서 해당 축까지의 거리가 반드시 반지름과 같아야 한다.
연립 계산만 먼저 적은 풀이에서 빠진 판단
수업 중 확인한 풀이에는 접점·중심·거리 표시 없이 다음처럼 바로 계산을 시작한 흔적이 있었다.
y=0을 대입하여 (x-3)2+4=25
이 계산 자체는 x축과 원의 교점을 구하는 과정으로는 맞다. 그러나 접한다는 조건을 확인하는 풀이로는 부족하다. 계산 결과는
(x-3)2=21
이므로 x=3±√21, 즉 서로 다른 두 교점이 나온다. 접점 하나가 나오는 상황이 아니며, 중심에서 x축까지의 거리 2와 반지름 5가 같지 않다는 사실도 함께 확인해야 한다.
접선 조건을 두 방식으로 연결하기
중심이 (a,b), 반지름이 r인 원과 x축이 접한다면 중심에서 x축까지의 거리가 r이므로
|b|=r
이다. y축과 접하는 경우에는
|a|=r
이다. 예를 들어 원의 중심이 (−4,3)이고 반지름이 4라면 y축까지의 거리가 |−4|=4이므로 y축에 접한다. 반면 x축까지의 거리는 3이어서 x축에는 접하지 않는다.
직선이 축이 아닌 경우에는 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 비교한다. 원의 중심이 (1,2), 반지름이 3이고 직선이 3x+4y−16=0이면 중심에서 직선까지의 거리는
|3×1+4×2−16|/√(32+42)=5/5=1
이다. 거리 1은 반지름 3보다 작으므로 이 직선은 원과 두 점에서 만난다. 접선이라고 판단하려면 이 값이 3이어야 한다.
수정된 풀이를 새 수치에 적용하기
다음 원이 y축에 접하는지 판단해 보자.
(x+5)2+(y-1)2=25
중심은 (−5,1), 반지름은 5이다. y축까지의 거리는 |−5|=5이므로 y축과 접한다. 실제로 x=0을 대입하면
25+(y-1)2=25
(y-1)2=0
이어서 y=1 하나만 얻는다. 거리 비교와 연립 계산의 결과가 서로 같은 접 조건을 가리키는지 확인한 것이다.
검증 자료의 조건이 바뀌었을 때 확인할 것
축과 원의 접선 조건을 익혔는지는 단순히 같은 원을 다시 풀어 맞혔는지로 판단하지 않는다. 중심의 부호와 축을 바꾼 새 문항에서 중심 좌표, 해당 축까지의 거리, 반지름을 먼저 적는지 확인한다.
표의 단위가 바뀌거나 전개도처럼 마주 보는 면과 이웃한 면을 추적해야 하는 자료는 원의 접선 조건을 검증하는 문항이 아니다. 그런 자료를 풀었다고 해서 접 조건 학습을 완료로 처리하지 않고, 새 원 문제에서 거리와 반지름의 비교를 다시 수행했는지를 기준으로 미완료 여부를 판단한다.