원미동고2수학과외

항번호 차이를 빼먹으면 공차가 달라진다

원미동에서 귀가한 뒤 학교 과제를 확인할 때, 등차수열 문제는 답보다 계산 줄의 연결을 먼저 살펴볼 필요가 있다. 원미구의 통학권 학교에서 받은 프린트에 다음 조건이 제시되었다.

a₃=7, a₇=19인 등차수열 {a_n}의 첫째항 a₁과 공차 d를 구하여라.

등차수열의 일반항은

a_n=a₁+(n-1)d

이므로 두 조건을 각각 식으로 바꾸면

a₁+2d=7
a₁+6d=19

19-7을 바로 d로 쓰면 생기는 오류

답안에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.

a₇-a₃=19-7=12
따라서 d=12

이 계산에서 빠진 것은 항번호의 차이이다. a₃에서 a₇까지는 공차를 네 번 더한다.

a₇-a₃=(7-3)d=4d
19-7=4d
d=3

이제 a₃=7에 대입하면

a₁+2·3=7
a₁=1

따라서 첫째항과 공차는 a₁=1, d=3이다. 실제로 a₇=1+6·3=19이므로 두 조건을 모두 만족한다. 두 항의 값 차이는 공차 자체가 아니라, 항번호 차이만큼 누적된 값이라는 관계가 계산 줄에 드러나야 한다.

잘못된 줄과 고친 줄을 나란히 놓기

풀이를 다시 쓸 때는 지운 흔적만 남기지 않고, 오류가 발생한 줄과 수정한 줄을 함께 비교한다.

이후 다른 두 항을 볼 때도 먼저 항번호를 세로로 표시한다. 예를 들어 a₅와 a₉의 차이는 공차 네 개이고, a₂와 a₈의 차이는 공차 여섯 개이다. 이 표시를 한 뒤에만 두 항의 값 차이를 나누도록 답안 순서를 고정한다.

음수 조건으로 바꾼 문항에서 다시 확인하기

조건이 달라진 다음 문제를 별도로 제시했다.

a₄=-5, a₉=15인 등차수열에서 a₁과 d를 구하여라.

항번호 차이는 9-4=5이므로

a₉-a₄=(9-4)d
15-(-5)=5d
20=5d
d=4

a₄=a₁+3d=-5이므로

a₁+12=-5
a₁=-17

검산하면 a₉=-17+8·4=15이다. 음수 항이 포함되어도 먼저 항번호 차이를 곱한 식을 세우고, 그다음 부호를 계산해야 한다. 이 순서와 중간식이 새로운 조건에서도 유지되는지가 풀이의 완성도를 결정한다.