원미동고1수학과외: 지름의 양 끝점으로 원의 중심과 반지름 정하기
원미동에서 귀가 후 학교 프린트를 정리할 때, 원의 방정식 문제를 풀면서 좌표 네 개를 한꺼번에 계산하는 학생이 있다. 특히 지름의 양 끝점이 주어지면 중점과 반지름을 따로 구하지 않고 네 좌표를 한 줄에 넣는다. 이 경우 계산 속도는 빨라 보여도 중심의 좌표 구조가 무너질 수 있다.
중심은 네 좌표의 평균이 아니라 두 쌍의 평균이다
지름의 양 끝점을 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)라고 하면 원의 중심은 선분 AB의 중점이므로
M = ( (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2 )
처럼 x좌표끼리, y좌표끼리 각각 평균을 내야 한다. 반지름은 두 점 사이 거리의 절반이다. 또는 중심 M과 한 끝점 사이의 거리를 이용할 수 있다.
좌표 네 개를 한 번에 묶었을 때 생긴 오답
지름의 양 끝점이 A(-6, 5), B(8, -1)인 문제에서 학생은 다음처럼 계산했다.
중점 = (-6+5+8-1)÷4 = 3/2
이 식은 네 좌표의 합을 구한 값일 뿐, 중점의 두 좌표를 나타내지 못한다. 올바른 중점은
M = ( (-6+8)/2, (5-1)/2 ) = (1, 2)
이다. 학생의 오답은 계산 단순 실수라기보다 ‘중점 좌표를 어떻게 구성하는가’라는 개념·표현의 문제로 분류해야 한다. 좌표를 순서쌍으로 유지하지 않고 네 숫자를 같은 종류처럼 다룬 것이 오류가 발생한 지점이다.
중점에서 반지름 제곱까지 이어지는 식
두 끝점의 차는 8-(-6)=14, -1-5=-6이므로 지름의 길이의 제곱은
14²+(-6)² = 196+36 = 232
이다. 반지름의 제곱은 지름의 제곱을 4로 나눈 값이므로 r²=232÷4=58이다. 따라서 중심이 (1, 2)인 원의 식은
(x-1)²+(y-2)²=58
이 된다. 중심 좌표를 잘못 잡으면 반지름을 정확히 계산해도 원 전체가 다른 위치에 놓이므로, 중점 계산을 먼저 분리해 적어야 한다.
풀이 첫 줄에 남기는 좌표 표시
연습할 때는 계산을 시작하기 전에 양 끝점을 다음처럼 두 줄로 옮겨 적는다.
- x좌표: -6, 8 → 평균 1
- y좌표: 5, -1 → 평균 2
이 표시를 한 뒤에만 원의 표준형에 중심을 대입한다. 학생이 새로운 문제에서 이 행동을 먼저 수행하면, 지름의 양 끝점 문제를 별도 단계로 인식하고 있는지 확인할 수 있다.
시간을 줄인 계산 세트에서 확인하기
같은 문제를 다시 푸는 대신 끝점이 C(3, -4), D(-9, 2)인 문제를 제한된 시간 안에 제시한다. 중점은
( (3-9)/2, (-4+2)/2 ) = (-3, -1)
이고, 지름의 제곱은 (-12)²+6²=180이므로 반지름의 제곱은 45이다. 따라서 원의 식은 (x+3)²+(y+1)²=45이다.
이때 답만 보지 않고, 학생이 x좌표끼리와 y좌표끼리 나누어 적었는지 확인한다. 피곤한 날에는 긴 원의 방정식 풀이보다 이처럼 중점과 반지름 제곱만 빠르게 구하는 계산 세트로 학습 종류를 조정하면, 같은 좌표 묶기 오류가 다시 나타나는지 분명하게 관찰할 수 있다.