역곡동고2수학과외

역곡동고2수학과외: 두 항만으로 등차수열을 정할 때 먼저 확인할 조건

“a₃=7, a₇=19이므로 공차는 19-7=12이다.”

수업 중 여백에 적힌 이 계산은 뺄셈 자체는 맞지만, 등차수열의 항번호 차이를 반영하지 않은 오답이다. 역곡동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 학교별 내신 자료와 주간 일정이 다른 원미구 통학권 학생들도 이런 서술형 풀이에서 항번호와 공식의 연결을 따로 점검해야 한다.

a₃과 a₇ 사이에는 공차가 네 번 들어간다

등차수열의 일반항은

a_n=a₁+(n-1)d

이다. 따라서

a₃=a₁+2d=7
a₇=a₁+6d=19

두 식을 빼면

a₇-a₃=(7-3)d
19-7=4d

이므로 d=3이다. 항번호가 3에서 7로 네 칸 증가했기 때문에 값의 차이 12를 4로 나누어야 한다. 학생처럼 12를 그대로 공차라고 두면 a₄가 19가 되어, 실제 조건인 a₇=19와 맞지 않는다.

두 항으로 결정할 수 있는 상황인지 먼저 판별하기

두 항으로 첫째항과 공차를 정할 수 있는 이유는 “등차수열”이라는 조건이 주어졌기 때문이다. 또한 두 항의 번호가 서로 달라야 한다. a₃과 a₇처럼 항번호가 다르면

d= (a₇-a₃)/(7-3) =3

으로 공차를 구할 수 있고, a₃=a₁+2d에 대입하여

a₁+6=7, 따라서 a₁=1

을 얻는다. 그러므로 이 수열은

a_n=1+3(n-1)=3n-2

이다. 여기서 n은 자연수인 항번호이며, d=3은 항번호가 한 칸 증가할 때 항의 값이 3씩 증가한다는 뜻이다. 등차수열이라는 조건 없이 값이 두 개만 주어졌다면 가능한 규칙이 여러 가지이므로 첫째항과 공차를 하나로 확정할 수 없다.

식 대신 점 두 개로 바꾸어 공차를 확인하기

풀이가 숫자 계산에만 머물지 않도록 가로축을 항번호 n, 세로축을 항의 값 a_n으로 두고 점 (3, 7), (7, 19)를 표시한다. 두 점을 잇는 직선의 기울기는

(19-7)/(7-3)=12/4=3

이다. 등차수열의 공차가 그래프에서 직선의 기울기와 같다는 관계가 같은 결론을 만든다. 절편은 a_n=3n-2의 -2이며, n=1일 때 a₁=1도 확인된다. 계산식과 그래프에서 공차가 모두 3으로 나오는지 대조하면 항번호 차이를 생략한 오류를 발견할 수 있다.

조건을 바꾼 확인 문제

이번에는 a₂=5, a₈=23인 등차수열을 생각한다. 먼저 항번호 차이를 적으면 8-2=6이다.

d=(23-5)/6=3
a₂=a₁+d이므로 5=a₁+3
a₁=2

그래프에서는 (2, 5), (8, 23)의 기울기가 3인지 확인하고, 새 일반항 a_n=2+3(n-1)=3n-1을 얻은 뒤 n=2와 n=8에 각각 대입한다. 두 점을 모두 통과하고 항번호 차이를 공차 계산에 반영했다면, 이전 문제의 숫자를 외운 것이 아니라 등차수열의 결정 조건을 새로운 표현과 조건에 적용한 것이다.