역곡동고1수학과외: 중심과 한 점으로 원의 식 세우기
원주 위의 한 점과 중심이 주어졌을 때는 먼저 두 점 사이의 거리를 구하고, 그 값을 원의 방정식에 맞게 사용해야 한다. 역곡동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 소명여자고등학교·심원고등학교·상동고등학교 등 같은 원미구의 통학권 참고 학교에서 학교별 일정에 맞춰 학교 프린트와 교과서 문제를 점검할 때도 이 순서를 분명히 기록할 필요가 있다.
우변의 25를 반지름으로 옮긴 풀이
중심이 \(C(2,-1)\), 원 위의 점이 \(P(5,3)\)인 원을 생각해 보자. 두 점 사이의 거리는
\[ r=\sqrt{(5-2)^2+\{3-(-1)\}^2} =\sqrt{9+16}=5 \]
따라서 원의 방정식은
\[ (x-2)^2+(y+1)^2=25 \]
이다. 그런데 풀이 과정에서 우변의 25를 그대로 반지름이라고 보고 반지름 \(r=25\)라고 적는 경우가 있다. 이 식에서 25는 \(r\)이 아니라 \(r^2\)이므로, 실제 반지름은 \(\sqrt{25}=5\)이다.
식의 형태를 먼저 적어야 하는 이유
학생은 문제를 보자마자 계산부터 한 뒤, 풀이에 ‘원의 방정식 오른쪽 \(r^2\) 값을 반지름 \(r\)로 그대로 적는다’는 오류를 남겼다. 또한 풀이 시작 전에 중심과 원 위 한 점으로 반지름을 구해 원의 식 만들기라는 판단을 기록하지 않아, 거리 계산과 원의 방정식 작성이 한 단계처럼 섞였다.
중심이 \((a,b)\)인 원의 식은
\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]
이다. 그러므로 먼저 좌표 차이로 \(r^2\)를 구해도 되지만, 반지름을 묻거나 반지름을 설명해야 한다면 마지막에 반드시 제곱근을 취해야 한다. 위 문제에서는 \(r^2=25\), \(r=5\)를 구별해서 적어야 한다.
고친 풀이에는 두 값을 나란히 남긴다
수정할 때는 다음처럼 판단을 한 줄로 고정한다.
중심과 원 위의 한 점 사이의 거리를 구해 반지름을 정하고, \(r^2\)를 우변에 넣는다.
이후 \(r^2=25\)이므로 \(r=\sqrt{25}=5\)라고 적는다. 완성된 식에 중심 \(C(2,-1)\)을 대입하면
\[ (2-2)^2+(-1+1)^2=0 \]
이고, 원 위의 점 \(P(5,3)\)을 대입하면
\[ (5-2)^2+(3+1)^2=9+16=25 \]
가 된다. 두 점의 조건이 식에 맞는지 확인하면서 우변 25가 반지름 5의 제곱이라는 사실도 함께 검산할 수 있다.
위치가 달라진 변형에서 조건을 표시하기
새 문제로 중심이 \(C(-3,4)\), 원 위의 점이 \(Q(1,1)\)일 때를 제시한다. 그림을 그린다면 중심에서 \(Q\)까지의 선분을 반지름으로 표시하고, 좌표 차이를 \(4\)와 \(-3\)으로 직접 적는다.
\[ r^2=(1+3)^2+(1-4)^2=4^2+(-3)^2=25 \]
따라서 \(r=5\), 원의 식은
\[ (x+3)^2+(y-4)^2=25 \]
이다. 위치가 오른쪽 위에서 왼쪽 위로 바뀌어도 필요한 성질은 중심과 원 위의 점 사이의 거리이다. 그림에서 선분의 길이와 좌표 차이를 표시하지 않고 기억한 식만 옮긴다면, 다시 우변과 반지름을 혼동할 수 있다.
계산 반복보다 조건 확인을 보는 기록
학교별 내신 일정이 겹치는 주간에는 같은 원의 식을 여러 번 계산하는 것보다, 풀이 옆에 중심, 원 위의 점, \(r^2\), \(r\)을 구분해 표시했는지를 확인한다. 정답 \(25\)를 얻었더라도 \(r=5\)라는 제곱근 확인이 빠졌다면 이 문제는 재확인 대상으로 남긴다.
최종적으로는 숫자가 맞았는지만 보지 않는다. 그림의 위치가 달라진 문제에서도 중심과 한 점을 찾아 거리 조건을 표시하고, \(r^2\)와 \(r\)을 구분해 원의 식을 세웠는지 확인해야 한다. 이때 검산이 단순한 계산 반복에서 조건 확인으로 바뀌었는지가 판단 기준이다.