표준화 식이 달라진 첫 줄부터 확인하기
심곡동에서 통학하며 원미구 내 소명여자고등학교, 심원고등학교, 상동고등학교 등을 참고해 고등학교 수학을 공부하는 학생은 이동 시간과 과제가 겹치면서 풀이를 끝까지 검산하지 못하는 경우가 있었다. 특히 표준정규분포 표를 사용할 때 계산 결과만 옮겨 적고, 원래 확률변수의 조건이 표준화 과정에 반영되었는지는 확인하지 않았다.
평균을 빼지 않은 중간식
예를 들어 확률변수 \(X\)가 정규분포 \(N(70,10^2)\)을 따를 때 \(P(60\le X\le85)\)를 구하는 문제에서 학생은 다음과 같이 적었다.
\(Z=\frac{X}{10}\), 따라서 \(P(60\le X\le85)=P(6\le Z\le8.5)\)
이 식은 틀린 식이다. 표준화는 원래 값 \(X\)에서 평균 \(70\)을 먼저 빼야 하므로 \(Z=\frac{X-70}{10}\)이어야 한다. 평균을 빼지 않으면 원점이 \(0\)인 새로운 척도로 바뀌어 표준정규분포의 표와 비교할 수 없다.
조건과 변수를 한 줄씩 대조하기
학생은 오답이 시작된 줄에 밑줄을 긋고, 문제의 조건 \(X\sim N(70,10^2)\)에서 평균과 표준편차를 따로 표시했다. 그다음 구간의 양 끝을 각각 표준화했다.
- \(60\)은 \(\frac{60-70}{10}=-1\)
- \(85\)는 \(\frac{85-70}{10}=1.5\)
- 따라서 \(P(60\le X\le85)=P(-1\le Z\le1.5)\)
표준정규분포표에서 \(\Phi(1.5)=0.9332\), \(\Phi(-1)=0.1587\)이므로 정답은
\(0.9332-0.1587=0.7745\)
이다. 학생은 답만 고치지 않고, \(Z=-1\)이면 \(X=70+10(-1)=60\), \(Z=1.5\)이면 \(X=70+10(1.5)=85\)가 되는지 역계산해 표준화가 원래 구간을 보존하는지도 확인했다.
계수가 바뀐 문제로 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 \(Y\sim N(48,6^2)\)일 때 \(P(42\le Y\le57)\)를 새로 풀었다.
- \(y=42\)에서 \(z=\frac{42-48}{6}=-1\)
- \(y=57\)에서 \(z=\frac{57-48}{6}=1.5\)
- 따라서 \(P(42\le Y\le57)=P(-1\le Z\le1.5)\)
확률은 다시 \(0.9332-0.1587=0.7745\)이다. 이번에는 평균 \(48\)과 표준편차 \(6\)을 문제에 맞게 바꾸었고, 역계산 \(48+6(-1)=42\), \(48+6(1.5)=57\)까지 확인해 평균을 빼는 단계가 특정 숫자에만 적용되는 절차가 아님을 검증했다.