심곡동고1수학과외, 원의 방정식에서 r²와 반지름 r 구별하기
심곡동에서 통학하며 학교 프린트와 과제를 함께 처리하는 고1 학생에게 원의 방정식은 식을 읽는 순서가 중요하다. 특히 원의 중심과 우변을 확인할 때 우변이 반지름 자체인지, 반지름의 제곱인지 구별해야 한다.
우변 －9는 실제 원의 반지름이 될 수 없다
원의 방정식은 다음과 같이 나타낸다.
(x-a)²+(y-b)²=r²
중심은 (a,b)이고, 오른쪽의 r²가 반지름의 제곱이다. 따라서
(x-2)²+(y+1)²=-9
에서는 반지름의 제곱이 r²=-9가 된다. 실수 범위에서 어떤 실수 r도 r²=-9를 만족할 수 없으므로 이 식은 실제 원을 나타내지 않는다. 우변 숫자 －9를 반지름으로 적어 r=-9라고 해석하는 것은 r²와 r을 바꿔 읽은 결과다.
풀이 여백에서 빠진 확인
수업 중 학생은 위 식의 중심을 (2,-1)로 찾은 뒤, 반지름을 9라고 적었다. 식의 오른쪽 숫자를 그대로 반지름 칸으로 옮겼고, 여백에는 ‘반지름의 제곱이 음수인지 확인’한 흔적이 없었다.
이 경우 중심을 찾은 과정은 맞지만 원의 존재 여부를 판단하는 단계가 빠졌다. 우변이 양수인 16이라면 r²=16에서 반지름은 양의 길이인 r=4이다. 반대로 우변이 음수이면 실수 반지름을 구할 수 없다.
제곱근을 취하기 전에 우변의 부호부터 본다
예를 들어
(x+3)²+(y-4)²=25
에서는 중심이 (-3,4)이고 r²=25이므로 r=5이다. 반지름은 길이이므로 음의 값인 -5를 선택하지 않는다.
반면
(x+3)²+(y-4)²=-25
에서는 r²=-25이므로 실수 범위의 원이 없다. 따라서 우변을 반지름으로 옮기는 대신, ‘반지름의 제곱이 음수이므로 실제 원으로 해석할 수 없음’이라고 기록해야 한다.
맞힌 답도 풀이 시간이 길었다면 다시 점검한다
정답을 맞혔더라도 우변을 한참 바라본 뒤 중심과 반지름을 적었다면 확인 대상으로 남긴다. 다음 풀이에서는 식 옆에 중심 → r²의 부호 → r 순서를 짧게 표시한다. 이 표시는 공식을 외우는 것보다 현재 식에서 무엇을 읽었는지 드러내 준다.
심곡극동아파트나 심곡동광명아파트 생활권에서 귀가 후 시간이 짧은 날에는 긴 문제를 여러 개 푸는 대신, 학교 프린트의 원 방정식 한두 개에서 우변의 의미를 정확히 표시하는 방식으로 점검할 수 있다. 원미구 통학권의 소명여자고등학교, 심원고등학교, 상동고등학교 등 참고 학교의 과제와 함께 복습할 때도 학교별 출제 경향을 단정하기보다 본인이 받은 식의 조건을 직접 확인해야 한다.
불필요한 숫자가 섞인 새 문항에서 확인하기
다음 문항을 제시한다.
중심이 (1,-2)이고 원 위의 점 (4,-2)를 지나며, 이 원을 설명하는 참고 숫자 7이 함께 주어져 있다. 원의 방정식을 구하여라.
구해야 할 반지름은 중심과 점 사이의 가로 거리인 3이다. 참고 숫자 7은 필요한 수량 관계에 포함되지 않으므로 사용하지 않는다. 따라서 방정식은
(x-1)²+(y+2)²=9
이다. 여기서 학생이 우변을 반지름으로 쓰지 않고 r²=9로 표시한 뒤 r=3을 얻는지 확인한다. 숫자를 모두 식에 넣는 것이 아니라 중심, 원 위의 점, 거리라는 관계만 골라 사용하는지가 검증 기준이다.