오정구 고3 수학과외, 평균에서 분산 조건까지 다시 확인한 이항분포 풀이
오정구의 수주고등학교와 덕산고등학교 학생들은 학교별 내신 일정과 고강동·여월동·오정동·원종동에서의 주간 이동 시간이 서로 다를 수 있다. 이 학생은 주중 학습 시간이 짧은 날에도 확률분포 문제의 공식을 먼저 적기보다, 확률변수와 조건을 확인하는 연습을 진행했다.
분산을 바로 적으면서 생긴 오류
문제에서 성공 확률이 p인 독립 시행을 8번 하고, 성공 횟수를 확률변수 X라 하였다. 또한 평균이 6이라고 주어졌을 때 X의 분산을 구하는 문제였다.
학생은 풀이 첫 줄에 다음과 같이 적었다.
E(X)=np=6, Var(X)=np=6
평균까지는 np=8p=6이므로 p=3/4로 구한 것이 맞다. 그러나 이항분포의 분산을 np로 적은 것은 잘못이다. np는 평균이고, 분산은 실패 확률 q=1-p까지 반영한 npq이다.
조건과 변수의 관계를 다시 세운 풀이
먼저 성공 확률과 실패 확률을 함께 고정한다.
- n=8
- p=3/4
- q=1-p=1/4
따라서
E(X)=np=8×3/4=6
Var(X)=npq=8×3/4×1/4=3/2
학생은 답안에서 Var(X)=np라고 쓴 줄에 표시한 뒤, 평균과 분산의 공식을 나란히 다시 적었다. 이어서 p+q=1인지 확인하고, 분산이 평균 6보다 작아지는지 계산으로 검산했다. 성공 확률이 3/4인 시행에서는 결과가 평균 주변에 모이므로 3/2라는 값이 조건에도 맞는다.
분포값을 바꾼 독립 검증
같은 공식을 외운 것인지 확인하기 위해 조건을 바꾸었다. 확률변수 Y가 성공 확률 1/3인 독립 시행 12회의 성공 횟수라면
Y~B(12,1/3)
평균은
E(Y)=12×1/3=4
실패 확률은 2/3이므로 분산은
Var(Y)=12×1/3×2/3=8/3
이번에는 분산을 np로 잘못 적으면 4가 되지만, npq를 적용하면 8/3이 된다. 학생은 성공 횟수의 평균과 분산을 구분하고, 확률의 합 1/3+2/3=1까지 확인하며 첫 판단부터 다시 검증했다.