오정구고2수학과외

오정구 고2수학과외, 수열의 일반항을 식의 모양만으로 판단하지 않기

수주고등학교와 덕산고등학교처럼 학교별 주간 학습 일정과 프린트 구성이 다를 때에도, 수열 문제에서 먼저 확인해야 할 기준은 식의 모양이 아니라 항번호와 항값의 대응이다. 특히 여러 표현으로 제시된 일반항은 전개와 인수분해를 거쳐 같은 값을 만드는지, 그리고 몇 번째 항부터 성립하는지를 함께 판단해야 한다.

n(n+1)과 n²+n은 다른 일반항일까

다음 두 수열을 비교해 보자.

a_n = n(n+1),   n≥1
b_n = n²+n,   n≥1

학생의 풀이에는 “인수분해된 식과 전개된 식이므로 서로 다른 일반항”이라는 판단이 적혀 있었다. 그러나 분배법칙을 적용하면

n(n+1)=n·n+n·1=n²+n

이므로 모든 n≥1에서 a_n=b_n이다. 예를 들어 n=2이면 두 식 모두 2×3=6을 주고, n=5이면 5×6=30을 준다. 식의 배열이 달라도 같은 항번호에서 같은 항값을 만들면 같은 수열의 일반항 표현이다.

항번호가 빠지면 비교의 근거가 사라진다

일반항 비교에서 “두 식이 같다”라고만 쓰면 충분하지 않다. 다음 세 가지를 답안에 남겨야 한다.

1. 두 식에 들어가는 항번호가 같은지 확인한다.
2. 대수적 변형으로 한 식에서 다른 식이 나오는지 보인다.
3. n의 범위에서 그 변형이 성립하는지 확인한다.

예를 들어 c_n=n(n+1)과 d_n=(n+1)²-1을 비교하면

(n+1)²-1=n²+2n+1-1=n²+2n=n(n+2)

이므로 d_n은 c_n과 같지 않다. n=1을 대입해도 c₁=2, d₁=3으로 달라진다. 반면 n(n+1)과 (n+1)n은 곱셈의 교환법칙에 의해 같은 일반항이다.

처음부터 성립하는지, 특정 항부터 성립하는지 구분하기

표현이 같더라도 정의된 범위가 다르면 같은 수열이라고 바로 결론 내릴 수 없다. 예를 들어

p_n=n²-1,   n≥1
q_n=(n-1)(n+1),   n≥1

에서는

(n-1)(n+1)=n²-1

이므로 주어진 모든 항번호 n≥1에서 두 일반항이 같다. 하지만 r_n=n(n+1)과 s_n=n²+n 중 하나에만 “n은 자연수”라는 범위가 제시되어 있다면, 식의 동일성뿐 아니라 두 수열의 항번호 범위가 같은지도 적어야 한다. 일반항은 식 하나만이 아니라 식과 적용 범위가 함께 주어지는 대상이기 때문이다.

식을 변형한 뒤 원래 모양으로 되돌리는 훈련

풀이 중간에 전개를 사용했다면 마지막에는 반대로 묶어 원래 식이 복원되는지 확인한다. 예를 들어

n²+3n+2=(n+1)(n+2)

라고 정리했다면, (n+1)(n+2)를 다시 전개하여 n²+3n+2가 되는지 확인한다. 이 검산은 식의 모양이 달라졌다는 이유로 서로 다른 일반항이라고 판단하는 오류를 줄여 준다. 또한 n=1을 대입하면 양쪽 모두 6이므로 첫째항의 대응도 확인할 수 있다.

계수와 항번호를 바꾼 검산

마지막에는 다음 두 표현을 혼자 비교해 보도록 한다.

u_n=2n(n+3),   n≥1
v_n=2n²+6n,   n≥1

2n(n+3)=2n²+6n이므로 같은 일반항이다. n=4를 대입하면 u₄=2×4×7=56, v₄=2×16+24=56이다. 항번호 n=4를 동일하게 사용하고, 변형식이 원래 식으로 돌아오는지까지 확인했다면 새로운 계수에서도 일반항의 동일성과 성립 범위를 근거 있게 판단한 것이다.