오정동 고3수학과외에서 정규분포의 중심을 조건으로 확인하기
오정동에서 덕산고등학교로 통학하며 과제와 시험 준비를 병행하는 학생은 문제를 빨리 풀려는 습관 때문에 정규분포의 기준을 자주 생략했다. 오정물류단지1단지와 여월휴먼시아5단지 등 생활권에서 이동 시간이 달라질 수 있듯이, 정규분포 문제도 평균과 표준편차라는 조건을 먼저 확인해야 답의 기준이 달라지지 않는다. 같은 오정구의 수주고등학교는 참고 학교로만 구분하고, 여기서는 덕산고등학교 학생의 풀이 사례를 다룬다.
대칭축을 0으로 둔 오답
확률변수 X가 정규분포 N(70, 82)을 따를 때, 학생은 분포의 중심을 다음처럼 적었다.
오답: X ~ N(70, 82)의 그래프는 평균이 0이므로 대칭축은 x=0이다.
이 식은 틀렸다. 정규분포 N(m, σ2)에서 평균은 m이고, 그래프의 대칭축은 x=m이다. 따라서 N(70, 82)의 대칭축은 x=70이며, 표준편차 8은 그래프가 평균 주변에 얼마나 퍼지는지를 나타낸다. 0을 중심으로 하는 분포는 표준정규분포 N(0,1)으로 변환했을 때의 기준이다.
표준화 식을 분포의 이동과 연결하기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 평균과 표준편차의 역할을 따로 적었다.
- 원래 분포의 중심: E(X)=70
- 원래 분포의 퍼짐: σ=8
- 표준화한 변수: Z=(X-70)/8
- 표준화 후 분포: Z~N(0,1)
예를 들어 P(62≤X≤78)을 구하면
P(62≤X≤78)=P((62-70)/8≤Z≤(78-70)/8)=P(-1≤Z≤1)
이다. 표준화 과정에서 평균 70을 빼는 이유는 그래프의 중심을 0으로 이동시키기 위해서이고, 8로 나누는 이유는 표준편차를 1로 조정하기 위해서이다. 따라서 원래 그래프의 대칭축과 표준화된 그래프의 대칭축을 혼동하면 안 된다. 표준정규분포표에서 P(-1≤Z≤1)≈0.6827이므로 계산 결과도 조건과 일치한다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음에는 평균과 표준편차를 바꾼 문제로 확인했다. Y~N(54, 52)일 때 P(49≤Y≤64)를 구하는 문제다.
먼저 대칭축은 y=54이고, 표준화하면
P(49≤Y≤64)=P((49-54)/5≤Z≤(64-54)/5)=P(-1≤Z≤2)
가 된다. 따라서
P(-1≤Z≤2)=Φ(2)-Φ(-1)≈0.9772-0.1587=0.8185
이다. 학생은 처음에는 새 분포도 중심을 0으로 그렸지만, 평균 54를 기준으로 그래프를 다시 그리고 표준화 후에만 중심이 0이 된다는 점을 확인했다. 숫자와 구간을 바꾸어도 먼저 평균→표준편차→표준화식의 관계를 점검하면 조건이 빠진 오답을 줄일 수 있다.