오정동고2수학과외

오정동고2수학과외: 등차수열의 공차는 항번호 차이까지 확인해야 한다

오정동에서 덕산고등학교 통학과 과제를 함께 병행하다 보면 짧은 풀이를 빠르게 적는 습관이 생기기 쉽다. 그러나 등차수열에서는 두 항의 값만 빼는 것으로 공차를 정할 수 없다. 항 사이를 몇 칸 이동했는지 먼저 확인해야 한다.

a₂=5, a₅=14에서 9가 공차가 될 수 없는 이유

문제에서 등차수열 {a_n}의 두 항이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

a₂=5,　a₅=14

답안에

d=14-5=9

라고 적으면, 값의 차이는 계산했지만 공차의 정의에 필요한 항번호 간격을 빠뜨린 것이다. a₂에서 a₅까지는 세 번 이동한다.

a₅=a₂+3d

이므로

14=5+3d
3d=9
d=3

실제로 a₂=5에서 공차 3을 적용하면 a₃=8, a₄=11, a₅=14가 된다. 반대로 공차를 9로 두면 a₃=14가 되어 주어진 a₅와 맞지 않는다. 간단한 항을 대입해 원래 조건이 보존되는지 확인하면 오답을 바로 발견할 수 있다.

공차를 적용할 수 있는 범위부터 식으로 표시하기

등차수열에서 두 항 a_m, a_n 사이에는

a_n-a_m=(n-m)d

라는 관계가 성립한다. 여기서 n-m은 항의 값이 아니라 항번호의 차이다. 따라서 이 문제를 풀 때 여백에 먼저 다음처럼 적는 훈련이 필요하다.

항번호 차이: 5-2=3
값의 차이: 14-5=9
공차: d=9÷3=3

이 기록이 있으면 a₅-a₂를 그대로 d로 착각하지 않게 된다. 또한 이 관계는 등차수열이라는 조건이 있을 때만 사용할 수 있다. 임의의 수열에서 두 항의 차이를 항번호 차이로 나누어 공차라고 부를 수는 없다.

계수를 바꾼 문제에서 항번호 차이를 먼저 찾기

같은 풀이를 외운 것인지 확인하기 위해 다음 문제를 제시한다.

등차수열 {b_n}에서 b₃=7, b₈=27일 때 공차를 구하여라.

이번에는 값의 차이가 27-7=20이고 항번호 차이는 8-3=5이다.

b₈=b₃+(8-3)d
27=7+5d
d=4

따라서 b₃부터 네 칸씩 증가하는 것이 아니라, 한 항에서 다음 항으로 갈 때마다 4씩 증가한다. 검산하면 b₄=11, b₅=15, b₆=19, b₇=23, b₈=27이므로 조건과 일치한다.

오정동물류단지 주변에서 통학 후 제한된 시간에 풀이를 정리하더라도, 등차수열 문제에서는 ‘값의 차이’와 ‘항번호 차이’를 나란히 적는 한 줄이 풀이의 정확성을 결정한다. 새로운 수가 주어졌을 때도 항번호를 먼저 표시하고, 구한 공차를 중간 항에 적용해 원래 조건까지 맞는지 확인해야 한다.