여월동 고3수학과외: 이항분포의 평균과 분산을 조건부터 다시 세운 사례
여월휴먼시아3단지와 여월휴먼시아4단지 생활권에서 통학하는 학생은 주간 일정과 학교별 내신 운영에 따라 혼자 풀이를 점검할 시간이 달라질 수 있다. 같은 오정구 통학권 참고 학교로 수주고등학교와 덕산고등학교가 있지만, 학교 전체의 학습 경향으로 단정하지 않고 학생의 실제 풀이 과정을 기준으로 확인했다.
기억한 중간식을 먼저 적은 오답
한 번의 성공 확률이 1/3인 독립 시행을 12회 실시하고, 성공 횟수를 확률변수 X라 하자. 추가로 “첫 번째 시행은 반드시 실패한다”는 조건이 붙은 문항에서 학생은 이 조건이 이항분포의 모수를 바꾸는지 먼저 확인하지 않고 다음처럼 적었다.
X ~ B(12, 1/3)이므로 평균 = 분산 = 12 × 1/3 × 2/3 = 8/3
이 식은 틀렸다. 이항분포에서 평균과 분산은 일반적으로 같지 않다.
- 평균: E(X)=np
- 분산: V(X)=np(1-p)
따라서 n=12, p=1/3이면
E(X)=12×1/3=4, V(X)=12×1/3×2/3=8/3
이다. 학생이 두 값을 모두 8/3으로 둔 이유는 p=1/2일 때에만 np=np(1-p)가 되는 특수한 경우를 일반식처럼 사용했기 때문이다.
불필요한 조건과 실제 모수 구분하기
“첫 번째 시행은 반드시 실패한다”는 조건을 실제로 반영하면 전체 성공 횟수는 첫 시행의 성공 횟수 0과 나머지 11회의 성공 횟수의 합이다. 따라서 이 조건을 포함한 확률변수는
X=Y, Y ~ B(11, 1/3)
로 볼 수 있다. 이 경우에는
E(X)=11×1/3=11/3, V(X)=11×1/3×2/3=22/9
이다. 반대로 “각 시행은 서로 독립이고 성공 확률이 1/3이다”처럼 이미 이항분포의 정의에 포함된 조건은 식에 별도로 곱하지 않는다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, n이 실제로 몇 번의 변동 가능한 시행을 뜻하는지와 성공 확률 p를 표로 다시 확인했다.
- 원래 12회 모두 변동: n=12
- 첫 시행 실패가 고정됨: 변동 횟수 n=11
- 평균: np
- 분산: np(1-p)
그 뒤 수정한 식에 n=11, p=1/3을 대입해 평균 11/3, 분산 22/9를 얻었다. 분산이 평균과 같은지 비교하는 것이 아니라, 두 식이 서로 다른 구조를 갖는지 먼저 확인한 것이다. 또한 평균은 가능한 성공 횟수의 중심인 11과 1/3의 곱이므로 11/3을 넘을 수 없다는 점으로 역검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 한 번의 성공 확률이 2/5인 독립 시행을 15회 실시하고 성공 횟수를 Z라 하자. 첫 시행을 고정하지 않고, 대신 마지막 두 시행의 결과도 다른 시행과 독립이라는 조건을 추가한다.
추가 조건은 이항분포의 모수를 바꾸지 않으므로
Z ~ B(15, 2/5)
이다. 따라서
E(Z)=15×2/5=6
V(Z)=15×2/5×3/5=18/5
가 된다. 학생은 이번에는 평균과 분산을 같은 값으로 쓰지 않고, 먼저 n=15, p=2/5, 1-p=3/5를 확인했다. 평균 6은 성공 횟수의 중심값으로 가능한 범위 안에 있고, 분산 18/5도 np에 1-p를 곱한 값인지 다시 대입해 확인했다.
핵심은 p가 1/2인지 기억하는 것이 아니라, 시행 횟수와 성공 확률을 먼저 정한 뒤 평균과 분산의 관계를 분리해 적용하는 것이다.