여월동고2수학과외

여월동 고2수학과외에서 확인한 일반항 표현의 착시

여월휴먼시아3단지와 4단지 생활권에서 통학하는 학생의 주간 학습 기록을 살펴보던 중, 수열 문제의 답안에 다음 두 식이 나란히 적혀 있었다.

n(n+1)과 n²+n

학생은 두 식을 서로 다른 일반항으로 판단한 뒤 항을 비교하려 했다. 하지만 전개하면

n(n+1)=n×n+n×1=n²+n

이므로 두 표현은 모양만 다를 뿐 같은 수열을 나타낸다. 예를 들어 n=1이면 두 식 모두 2, n=3이면 모두 12가 된다. 일반항의 표현을 비교할 때는 모양이 같은지 먼저 보는 것이 아니라, 전개·인수분해 또는 몇 개의 항 대입으로 값이 일치하는지 확인해야 한다.

계수 하나가 달라질 때는 같은 식으로 묶지 않는다

다음 수열을 보자.

a_n=2n(n+1)-3

이를 전개하면

a_n=2(n²+n)-3=2n²+2n-3

따라서 2n(n+1)-3과 2n²+2n-3은 같은 일반항이다. 반면 2n²+n-3은 n항의 계수가 다르므로 같은 식이 아니다. n=2를 대입하면 원래 식은 9, 바뀐 식은 7이 되어 차이가 드러난다.

답안에서는 처음 어긋난 기호에 표시한 뒤, 바로 아래에 올바른 중간식을 남긴다.

2n(n+1)-3
=2(n²+n)-3
=2n²+2n-3

시작 항이 바뀌면 n의 위치부터 다시 확인한다

이번에는 항의 번호가 n≥2부터 시작하는 수열을 살펴보자.

b_n=(n-2)(n+1),   n≥2

전개하면

b_n=n²-n-2

이다. 시작항을 b₂로 두었으므로 b₂=0, b₃=4가 된다. 이때 n≥1인 수열의 일반항을 그대로 가져오면 항번호가 한 칸씩 어긋날 수 있다. 식을 비교하기 전에 “몇 번째 항부터 시작하는가”와 “n이 어떤 값을 갖는가”를 함께 적어야 한다.

여월동의 학교별 내신 일정이나 통학 시간에 따라 풀이 시간이 달라도, 이 유형에서는 긴 계산보다 다음 한 줄을 먼저 쓰는 것이 관찰 가능한 기준이 된다.

표현 변환 → 특정 항 대입 → 시작 번호 확인

변형 조건에서 식의 위치를 조정하는지 확인하기

마지막으로 다음 수열을 제시한다.

c_k=(k+1)(k+4),   k≥1

전개하면

c_k=k²+5k+4

이다. c₁=10, c₂=16이므로 두 표현에 각각 k=1, 2를 대입해 같은 값이 나오는지 확인할 수 있다. 여기서 n 대신 k를 사용했다고 해서 일반항의 의미가 달라지는 것은 아니지만, 시작 조건 k≥1을 빠뜨리면 수열의 범위를 설명할 수 없다.

처음부터 식을 비교 계산하지 않고, 괄호를 전개한 중간식을 남긴 뒤 첫 항과 다음 항을 검산해야 한다. 계수나 부호가 바뀌거나 시작 번호가 달라진 문제에서도 이 순서를 지키면, 모양이 다른 같은 일반항과 실제로 다른 일반항을 구분할 수 있다.