고강동고3수학과외

고강동 고3수학과외: 이항분포 계산에서 첫 오답 찾기

고강동에서 수주고등학교까지의 이동 거리와 주거지의 생활 리듬에 따라 자습 시간이 달라질 수 있어, 풀이량보다 풀이 흔적을 확인하는 방식으로 학습을 진행했다. 덕산고등학교는 같은 오정구 내 참고 학교로만 구분했다.

결론을 따라 쓰기 전에 조건부터 표시하기

학생은 성공확률이 p=0.3인 시행을 12회 반복하는 문제에서 다음과 같이 적었다.

X∼B(12, 0.3), q를 따로 쓰지 않음

E(X)=np=12×0.3=3.6

V(X)=np=12×0.3=3.6

첫 불일치는 분산 계산이다. 이항분포에서는 실패확률 q=1-p가 필요하므로, 학생의 V(X)=np는 틀린 식이다. 정확한 계산은 다음과 같다.

q=1-p=0.7

E(X)=np=12×0.3=3.6

V(X)=npq=12×0.3×0.7=2.52

따라서 표준편차는 √2.52이다. 학생은 평균과 분산의 공식 자체를 몰랐다기보다, 문제의 조건에서 실패확률을 별도로 확인하지 않고 해설의 결론만 옮긴 것이 문제였다.

별표를 남기며 오답 줄을 수정하는 과정

• ① 틀린 줄에 별표: V(X)=np=3.6에 별표를 표시한다.
• ② 변수 관계 확인: 이항분포는 성공과 실패 두 결과이므로 q=1-p=0.7을 적는다.
• ③ 식 수정: V(X)=npq로 바꾸어 12×0.3×0.7=2.52를 계산한다.
• ④ 역계산: 표준화한 값이 z=(6-3.6)/√2.52≈1.51이면, 원자료는 3.6+1.51√2.52≈6으로 돌아오는지 확인한다.

또한 이항확률의 합도 확인했다. ∑_k=0¹²C(12,k)(0.3)^k(0.7)^12-k=(0.3+0.7)¹²=1이므로 확률조건도 맞는다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고, 성공확률을 바꾸어 Y∼B(20, 0.65)를 검증했다.

q=1-0.65=0.35

E(Y)=20×0.65=13

V(Y)=20×0.65×0.35=4.55

이번에도 분산을 np=13으로 쓰면 실패확률을 빠뜨린 오답이다. 마지막으로 z=(10-13)/√4.55를 계산한 뒤 13+z√4.55=10으로 되돌려, 표준화와 원자료의 관계까지 확인했다.