고강동고2수학과외

고강동고2수학과외 | 수열의 일반항을 식의 모양만으로 판단하지 않기

수주고등학교 학생의 풀이를 확인하던 중, 답안에는 n(n+1)과 n²+n을 서로 다른 일반항처럼 적은 흔적이 남아 있었다. 두 식은 모양이 다를 뿐 전개하면 같은 값을 만든다.

n(n+1)과 n²+n은 같은 항이다

예를 들어 수열의 일반항이

a_n = n(n+1)

이라면 분배법칙에 따라

a_n = n²+n

으로 바꿀 수 있다. n=1일 때 두 식은 각각 2, n=2일 때 각각 6, n=3일 때 각각 12가 되어 항의 값도 일치한다. 따라서 식의 배열이나 전개 형태가 다르다는 이유만으로 다른 규칙이라고 판단하면 안 된다.

계산 줄을 건너뛰면서 생긴 오답

다음 두 표현을 비교하는 문제를 제시했다.

a_n = n(n+3),　b_n = n²+3n

학생은 괄호가 있는 첫 번째 식과 제곱항으로 시작하는 두 번째 식을 서로 다른 일반항으로 분류했다. 그러나

n(n+3) = n²+3n

이므로 모든 자연수 n에서 a_n=b_n이다. 이 장면의 문제는 수열의 항을 계산하지 못한 데 있지 않고, 식을 변형한 뒤 같은지 확인하는 줄을 생략한 데 있다. 기본 예제에서는 전개를 해 보다가도 계수와 괄호가 바뀌면 다시 식의 겉모양만 보고 판단하고 있었다.

조건·계산·검산 중 오류가 난 칸 찾기

풀이를 세 칸으로 나누어 기록하게 했다.

• 조건: 두 식이 모든 자연수 n에서 같은지 비교한다.
• 계산: n(n+3)을 전개하여 n²+3n으로 정리한다.
• 검산: n=1, 2와 같은 값을 대입해 결과를 확인한다.

학생이 “서로 다른 식”이라고 적었다면 정답만 지우지 않고, 세 칸 중 계산 칸에 전개 과정이 빠졌음을 표시한다. 그 뒤 다음처럼 해당 칸만 다시 쓴다.

n(n+3)=n×n+n×3=n²+3n

검산 칸에는 n=2: 2(5)=10,　2²+3×2=10을 남긴다. 이렇게 하면 식의 모양을 비교하는 대신 변형 과정과 실제 항의 값을 함께 확인할 수 있다.

계수가 달라졌을 때도 같은 판단을 하는가

수정한 뒤에는 다음 문제를 별도로 제시했다.

c_n = 2n(n+4),　d_n = 2n²+8n

이번에는 힌트 없이 먼저 어느 칸에서 확인할지 표시하게 했다. 계산 칸에

2n(n+4)=2n²+8n

을 직접 적고, 검산 칸에서 n=3을 대입하면 c₃=2×3×7=42, d₃=2×9+24=42이다. 계수가 2로 바뀌어도 두 일반항이 같다는 결론은 유지된다.

고강동에서는 수주고등학교까지의 이동 거리와 귀가 시간이 학생마다 다를 수 있고, 같은 오정구의 덕산고등학교는 참고 학교일 뿐 고강동 소재 학교로 단정할 수 없다. 그래서 짧은 풀이 시간에도 조건·계산·검산 중 오류가 난 한 칸을 정확히 찾아 다시 쓰는 방식이 일반항 비교 문제의 전이 여부를 확인하는 데 적합하다.