은계동 고3수학과외: 도형이 뒤집혀도 삼수선의 관계를 찾는 풀이
은계동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으며, 세마고등학교·세교고등학교·매홀고등학교·오산고등학교·운천고등학교 등 오산시 학교를 통학권 참고 대상으로 볼 수 있다. 귀가 뒤 과제량과 시험 준비 순서를 점검하던 고3 학생은 공간도형의 그림이 바뀌면 같은 모양으로 해석하려는 습관을 보였다.
그림보다 정사영과 수직 관계를 먼저 확인하기
평면 α 위에 점 A(0, 0, 0), 점 H(2, 1, 0)이 있고, 평면 α 밖의 점 P(2, 1, 3)이 있다고 하자. PH는 평면 α에 수직이므로 H는 P의 평면 α 위 정사영이다. 따라서 PA는 평면 α에 비스듬히 놓인 직선이고, HA는 PA의 정사영이다.
평면 α 위에서 H를 지나며 방향벡터가 (1, -2, 0)인 직선 m을 생각하면, HA의 방향벡터는 (-2, -1, 0)이다.
(1, -2, 0)·(-2, -1, 0) = -2 + 2 = 0
그러므로 m⊥HA이다. 삼수선의 정리에 따라 m⊥PA이다. 실제로 PA의 방향벡터는 (-2, -1, -3)이므로
(1, -2, 0)·(-2, -1, -3) = -2 + 2 + 0 = 0
도 성립한다. 핵심은 그림에서 어느 선이 길어 보이는지가 아니라, 공간에서의 비스듬한 선 PA와 그 정사영 HA를 구분한 뒤 평면 안의 선 m과 HA가 수직인지 확인하는 것이다.
학생의 오답과 수정 과정
학생 오답: “그림이 반대로 놓였으므로 m⊥PH이면 m⊥PA이다.”
이 식은 틀렸다. PH는 평면 α에 수직인 선이고, 삼수선의 정리에서 비교해야 하는 것은 비스듬한 선 PA의 정사영인 HA이다. PH와 PA를 같은 역할로 취급한 것이 오류다.
- 틀린 줄 표시: m⊥PH
- 조건 확인: PH는 평면 α의 법선 방향이고, PA의 정사영은 HA이다.
- 식 수정: m⊥HA이므로 삼수선의 정리에 의해 m⊥PA
- 좌표 검산: (1, -2, 0)·(-2, -1, -3)=0
학생은 이후 도형 옆 네모칸에 “H: 정사영의 발, HA: PA의 정사영, m: 평면 α 위의 비교선”이라고 적었다. 재풀이가 끝난 뒤에는 m⊥HA 부분에 별표를 표시하고, 공간의 두 직선 방향벡터의 내적까지 계산해 결론을 확인했다.
방향을 바꾼 문제로 독립 검증
새 문제에서는 평면 β 위에 B(1, -2, 0), K(4, 0, 0), 평면 밖의 점 Q(4, 0, 2)를 둔다. Q의 정사영은 K이고, 비스듬한 선 QB의 정사영은 KB이다. K를 지나며 방향벡터가 (1, 3, 0)인 직선 n이 있을 때
KB의 방향벡터는 (-3, -2, 0)이므로 두 벡터의 내적은
(1, 3, 0)·(-3, -2, 0) = -3 - 6 = -9
이다. 따라서 n과 KB는 수직이 아니며, 삼수선의 정리를 적용할 수 없다. 학생은 도형이 뒤집혔다는 이유로 이전과 같은 선쌍을 고르지 않고, 정사영 관계와 내적을 다시 확인했다. 선분의 위치가 바뀌고 계수가 달라져도 비스듬한 선–정사영–평면 위 비교선의 관계를 먼저 찾는 방식으로 풀이를 완성했다.