은계동고2수학과외

은계동고2수학과외: 0/0에서 멈추지 않고 인수분해로 극한을 연결하는 연습

귀가 시각과 과제량을 함께 점검해야 하는 은계동 생활권의 고2 학습에서는, 짧은 문제라도 풀이의 중간 판단을 남기는 습관이 중요하다. 은계일반상업지구와 은계주공아파트, 은계현대아파트 주변에서 통학하는 학생이라면 학교 프린트와 시험 준비를 구분해 관리하되, 함수의 극한에서는 계산 결과보다 식의 변형 과정을 확인해야 한다.

0/0은 극한값이 아니라 변형이 필요한 신호

다음 식에 x=1 을 바로 대입하면

lim_x→1 (x²−1)/(x−1)

분자는 0, 분모도 0이 되어 0/0이 나온다. 이를 극한값이 0이라고 적으면 안 된다. 분자를 인수분해하면

x²−1=(x−1)(x+1)

이고, x≠1인 범위에서

(x²−1)/(x−1)=x+1

이므로

lim_x→1 (x²−1)/(x−1)=lim_x→1(x+1)=2

이다. 약분은 x=1에서 원래 식의 값을 정하는 과정이 아니라, x가 1에 가까워지는 양쪽에서 같은 값을 갖는 식으로 바꾸는 과정이다. 따라서 좌측에서 접근해도 x+1→2이고, 우측에서 접근해도 x+1→2이므로 좌우극한이 모두 2로 연결된다.

학생의 계산 흔적에서 끊긴 단계

풀이에는 “x=1 대입 → 0/0 → 계산 불가”라고 남아 있었다. 여기서 잘못된 부분은 0/0을 답으로 해석한 것이 아니라, 0/0이 나타난 뒤 인수분해 가능성을 확인하지 않고 멈춘 점이다. 오류 원인은 “대입으로 원래 식의 값을 구하려 했고, 접근하는 식으로 변형하지 않았다”라고 한 문장으로 적을 수 있다.

정답을 전부 지우기보다는 해당 단계만 고친다.

x²−1=(x−1)(x+1), x≠1

따라서 lim_x→1(x+1)=2

이처럼 0/0이 나온 줄 바로 아래에 인수분해, 약분 조건, 좌우 접근 결과를 차례로 남겨야 계수나 부호가 바뀌어도 같은 판단을 재사용할 수 있다.

부호가 달라진 식에서 다시 세우기

다음 문제에서는 기존 식을 외워 쓰지 않고 조건을 처음부터 확인한다.

lim_x→2 (x²−4)/(x−2)

x=2를 대입하면 역시 0/0이다. 그러나

x²−4=(x−2)(x+2)

이므로 x≠2에서 원래 식은 x+2와 같다. 따라서

lim_x→2 (x²−4)/(x−2)=lim_x→2(x+2)=4

가 된다. 마지막에는 좌측 극한과 우측 극한이 각각 4인지 확인하고, 두 값이 같으므로 양쪽 극한이 존재한다고 적는다. 그래프가 제시되지 않고 식만 주어진 상황에서도 이 순서를 스스로 세우는지, 0/0에서 멈추는 이전 행동이 다시 나타나지 않는지를 확인한다.