영통구고2수학과외

영통구 고2수학과외: 부분합에서 일반항으로 이어지는 등비수열 풀이

망포동·영통동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습 시간에는 등비수열 문제를 답만 계산하기보다, 항번호와 부분합의 관계를 먼저 적는 연습이 필요하다. 특히 부분합이 주어졌을 때 첫째항과 그 이후의 항을 같은 방식으로 처리하면 풀이가 바로 어긋난다.

S_n−S_n−1은 n≥2에서만 사용할 수 있다

다음 등비수열의 부분합이 주어졌다고 하자.

S_n=2ⁿ−1

학생은 곧바로

a_n=S_n−S_n−1 =(2ⁿ−1)−(2ⁿ⁻¹−1)=2ⁿ⁻¹

이라고 쓴 뒤, a₁=2⁰=1이라고 결론 내렸다. 이 계산은 n≥2인 항에는 맞지만, S_n−1이 필요한 식이므로 첫째항에 그대로 적용한 것은 잘못이다. 첫째항은 부분합의 정의에서 따로 확인해야 한다.

따라서

a₁=S₁=2−1=1
n≥2일 때 a_n=S_n−S_n−1=2ⁿ⁻¹

이고, 이 식은 n=1에서도 a₁=1과 일치한다. 실제 항은 1, 2, 4, 8, …이므로 공비는

a_n+1/a_n=2

이다. 여기서 항번호를 표시하지 않고 계산만 진행하면 일반항과 공비가 어떻게 연결되는지 확인하기 어렵다.

처음 어긋난 기호 아래에 중간식을 다시 쓰기

풀이를 고칠 때는 답 전체를 지우지 않고, 처음 잘못 사용한 부분인 a₁=S₁−S₀에 표시한다. 그 바로 아래에

a₁=S₁, a_n=S_n−S_n−1 (n≥2)

를 다시 적는다. 이어서 S₁, S₂, S₃을 계산하면 1, 3, 7이고,

a₁=1, a₂=3−1=2, a₃=7−3=4

가 된다. 인접한 항의 비가 2, 2로 일정하므로 등비수열이라는 사실도 계산 뒤에 확인할 수 있다. 부분합의 식에서 일반항을 얻었다고 해서 등비수열 조건을 생략하지 않는 것이 서술형 풀이의 기준이다.

음수 조건으로 바꾼 등비수열 검증

계수와 부호가 달라진 다음 문제로 풀이 순서를 확인한다.

S_n=−2(1−(−3)ⁿ)/4

먼저 항번호와 부분합의 차를 적는다.

a₁=S₁=−2(1+3)/4=−2
a₂=S₂−S₁=10−(−2)=12

또한

S_n−S_n−1=3(−3)ⁿ⁻¹ (n≥2)

이므로 a_n=−2·(−3)ⁿ⁻¹로 정리된다. 실제로 −2, 6, −18, …이 되어 공비는 −3이다. 양수 공비를 예상해 부호를 없애거나, 부분합의 계수만 보고 공비를 3으로 쓰면 틀린다. 새로운 부호에서도 첫째항을 S₁에서 따로 구하고, n≥2에서 차를 계산한 뒤 인접항의 비를 확인했는지를 점검한다.