영통구고1수학과외, 이동 순서가 달라진 도형의 대응점 검산
망포동이나 영통동에서 학교 수업을 마친 뒤 이동 시간이 짧게 확보되는 날에는, 풀이를 처음부터 다시 쓰기보다 틀린 지점을 표시하고 도형의 변환 관계를 되짚는 연습이 효과적이다. 특히 평행이동과 대칭이동이 함께 제시된 문제에서는 이동 방향뿐 아니라 적용 순서까지 바뀔 수 있으므로 대응점으로 결과를 확인해야 한다.
계산값은 맞아 보여도 대응점이 어긋난 경우
점 \(A(1,2)\)를 먼저 \(x\)축에 대칭이동한 뒤 오른쪽으로 3, 위로 1만큼 평행이동하면
\[ A(1,2)\rightarrow A'(1,-2)\rightarrow A''(4,-1) \]
이다. 그런데 이동 순서를 바꾸어 먼저 평행이동하면
\[ A(1,2)\rightarrow (4,3)\rightarrow (4,-3) \]
이 되어 최종점이 달라진다. 학생은 두 번째 계산에서 \(y\)좌표의 부호만 바꾸고 \(x\)좌표는 그대로 두어 \((1,-1)\)이라고 적은 뒤, 원래 식 전체를 지우고 다시 풀었다. 이 행동에서는 어느 변환에서 좌표가 달라졌는지 확인할 흔적이 사라진다.
이동은 방향과 순서를 함께 기록해야 한다
평행이동 \(T(x,y)=(x+3,y+1)\), \(x\)축 대칭 \(S(x,y)=(x,-y)\)를 생각하면
\[ S(T(1,2))=S(4,3)=(4,-3) \]
이고, 반대로
\[ T(S(1,2))=T(1,-2)=(4,-1) \]
이다. 두 결과가 다른 이유는 함수의 합성 순서가 다르기 때문이다. 따라서 도형 전체를 한꺼번에 계산하기 전에 한 점을 대응점으로 정해 첫 변환 뒤의 위치와 두 번째 변환 뒤의 위치를 각각 적어야 한다.
지운 풀이 대신 틀린 줄을 표시하는 방식
풀이를 시작하기 전과 마친 뒤에 다음 문장을 짧게 적는다.
이동 방향과 순서가 바뀐 새 도형에서도 대응점으로 결과 검산하기
그 다음 원래 도형의 점 \(B(-2,1)\)에 같은 변환을 적용한다. 먼저 \(x\)축 대칭 후 평행이동이면
\[ (-2,1)\rightarrow(-2,-1)\rightarrow(1,0) \]
이다. 이 결과를 도형에 표시했을 때 \(B\)와 \(B''\)의 가로 차가 \(3\), 세로 차가 \( -1\)인지 확인한다. 계산 중 \((-2,-1)\)을 \((2,-1)\)로 잘못 적었다면 식 전체를 지우지 말고 그 줄에 좌표 순서 오류를 표시한 뒤, 다음 대응점 \(A\)에도 같은 변환을 적용한다. 두 점에서 동일한 변환 규칙이 유지되는지 확인할 수 있다.
방향을 바꾼 새 도형으로 두 번 확인하기
훈련 뒤에는 이동 방향과 순서를 바꾼 문제를 사용한다. 예를 들어 \(C(3,-1)\)을 먼저 왼쪽으로 2, 아래로 4만큼 평행이동한 뒤 \(y\)축 대칭이동하면
\[ (3,-1)\rightarrow(1,-5)\rightarrow(-1,-5) \]
이다. 풀이 전에는 대응점 검산 문장을 적고, 계산 후에는 \(C\)의 최종 좌표를 도형에 표시하여 \(x\)좌표의 부호만 바뀌었는지 확인한다. 순서를 바꾸면
\[ (3,-1)\rightarrow(-3,-1)\rightarrow(-5,-5) \]
가 되므로 두 답을 같다고 처리하지 않아야 한다.
영통 생활권에서 확인할 짧은 점검
효원고등학교, 태장고등학교, 이의고등학교 등 학교별 통학 동선은 다르므로 귀가 뒤 긴 복습 시간을 전제로 하기보다, 학교 프린트의 도형 한 문제를 골라 두 번의 검산 흔적을 남기는 방식이 적절하다. 첫 번째는 풀이 전 변환 순서를 적는 것이고, 두 번째는 새 도형의 대응점에 최종 좌표를 대입해 확인하는 것이다.
선행 맛보기에서 확인할 다른 판단
시험 직전 새 교재로 넘어갈지 미완료 문제를 마칠지 판단할 때는 중2 수준의 표 문제를 제시한다. 예를 들어 \(x=1,2,3\)일 때 \(y=6,12,18\)이면 \(y=6x\)로 정리되어 정비례이다. 반대로 \(x=1,2,3\), \(y=12,6,4\)이면 \(xy=12\)이므로 반비례이다.
표의 변화 관계를 보고 식을 세운 뒤, 그 식이 정비례인지 반비례인지 혼자 결정하지 못한다면 새 단원보다 미완료 문제에서 조건과 관계를 기록하는 연습을 먼저 이어간다.