“자료가 4, 5, 5, 6, 10일 때 분산은 4예요.” 원천동의 한 중3 학생은 평균을 6으로 계산한 뒤 각 자료와 평균의 차이를 더해 0이 되는 과정을 분산으로 적었다. 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 확인했다는 점은 맞았지만, 분산은 편차를 그대로 더하는 값이 아니다. 편차의 부호가 서로 지워지지 않도록 제곱한 뒤 그 평균을 구해야 한다.
원천동중3수학과외에서 먼저 확인한 한 줄
학생이 쓴 풀이를 그대로 살펴보면 다음과 같다.
평균: (4+5+5+6+10)÷5=6
편차: -2, -1, -1, 0, 4
분산: (-2-1-1+0+4)÷5=0
여기서 계산 실수만 고치도록 하면 같은 오류가 다시 나타날 수 있다. 학생은 ‘평균에서 떨어진 정도’를 구하는 과정과 ‘그 정도를 하나의 수로 정리하는 과정’을 구분하지 못했다. 편차의 합은 자료가 평균을 중심으로 어느 쪽에 놓였는지를 상쇄해 주는 값이고, 분산은 자료가 평균에서 떨어진 정도를 부호 없이 비교하기 위한 값이다.
편차를 더하기 전에 제곱하는 이유
위 자료의 평균은 6이다. 각 자료의 편차를 제곱하면 4, 1, 1, 0, 16이 되고, 제곱한 편차의 합은 22이다. 따라서 이 자료의 분산은 다음과 같이 계산한다.
(4+1+1+0+16)÷5=22÷5=4.4
학생에게 “왜 편차를 제곱해야 할까?”라고 묻자 처음에는 “공식이라서요”라고 답했다. 이때 공식을 다시 외우게 하지 않고, 편차를 그대로 더하면 왜 0이 되는지 직접 표시하게 했다. 평균보다 작은 자료의 음수 편차와 평균보다 큰 자료의 양수 편차가 사라지는 것을 확인한 뒤, 제곱은 방향이 아니라 거리의 크기를 남기기 위한 절차라고 말하도록 했다.
분산을 구할 때 문제의 조건부터 표시하기
분산 문제에서 학생이 계산을 시작하기 전 확인해야 할 내용은 많지 않다. 자료 전체가 제시되었는지, 평균이 주어졌는지, 분산을 구하는 대상이 무엇인지 세 가지를 표시하면 된다. 특히 ‘다섯 자료의 분산’과 ‘표본의 일부를 이용한 값’을 임의로 다르게 해석하지 않아야 한다. 중학교 문제에서 자료 전체의 분산을 묻는다면 제곱한 편차의 합을 자료의 개수로 나눈다.
예를 들어 3, 3, 7, 7의 분산을 구할 때 학생은 자료를 보자마자 3과 7의 차이가 4이므로 분산도 4라고 적었다. 그러나 먼저 평균을 구해야 한다.
평균은 (3+3+7+7)÷4=5이고, 편차는 -2, -2, 2, 2이다. 제곱한 편차는 4, 4, 4, 4이므로 분산은 16÷4=4이다. 이 문제에서는 우연히 차이와 분산의 값이 같아 보이지만, ‘자료 사이의 차이’와 ‘평균으로부터의 제곱거리의 평균’은 서로 다른 개념이다. 숫자가 비슷하게 나온다는 이유로 계산 절차를 생략할 수 없다.
평균이 이미 제시된 문제에서 생략하면 안 되는 것
평균이 8이라고 문제에 적혀 있어도 학생은 편차를 먼저 표로 만들도록 했다. 자료가 6, 7, 9, 10이라면 편차는 -2, -1, 1, 2이고 제곱한 편차는 4, 1, 1, 4이다. 분산은 10÷4=2.5이다. 학생이 자주 하는 실수는 편차의 합이 0이라는 사실을 보고 “분산도 0”이라고 판단하는 것, 또는 제곱한 편차의 합 10을 분산으로 끝내는 것이다. 마지막 나눗셈의 기준은 제곱한 편차의 개수가 아니라 문제에 제시된 자료의 개수이며, 이 경우 네 개다.
두 자료의 흩어진 정도를 숫자로 비교하기
분산의 의미를 확인하기 위해 다음 두 자료를 비교했다.
- 자료 A: 4, 5, 5, 6, 10
- 자료 B: 4, 6, 6, 6, 8
두 자료의 평균은 모두 6이다. A의 분산은 앞에서 구한 4.4이고, B의 편차는 -2, 0, 0, 0, 2이므로 제곱한 편차의 평균은 (4+0+0+0+4)÷5=1.6이다. 평균이 같더라도 A에는 평균에서 4만큼 떨어진 10이 있어 분산이 더 커진다. 학생은 처음에 “두 자료 모두 평균이 6이므로 흩어진 정도도 같다”고 했지만, 평균은 중심 위치를 알려 줄 뿐 자료가 중심 주변에 얼마나 모였는지는 말해 주지 않는다.
이 비교를 학습 계획에 연결할 때도 단순히 문제 수를 늘리는 방식은 사용하지 않았다. 원천동의 광교호수중학교, 원천중학교, 중앙기독중학교가 지역 내 중학교로 확인되고, 광교중학교와 동수원중학교는 같은 영통구의 참고 학교로 구분된다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간이 다를 수 있으므로 분산 단원은 한 번에 긴 시간을 잡기보다 귀가 후 먼저 ‘평균 확인-편차 표시-제곱-자료 개수로 나누기’ 네 단계를 짧게 점검하는 방식이 현실적이다. 원천삼성아파트와 원천레이크아파트 등 생활권에서 이동하는 학생이라면 수업 전후 시간도 함께 살펴 주간 학습량을 정한다.
분산이 바뀌는 조건을 역으로 확인하기
학생이 공식을 기억했는지만 보지 않기 위해 새 조건을 제시했다. 자료 2, 4, 6의 각 값에 3을 더한 5, 7, 9의 분산을 비교하게 한 것이다. 평균은 4에서 7로 바뀌지만 편차는 각각 -2, 0, 2로 그대로이므로 분산도 변하지 않는다. 학생은 새 자료의 평균 7을 구한 뒤 편차를 다시 적고, 제곱한 편차의 평균이 8÷3임을 확인했다.
이번에는 원래 자료 2, 4, 6을 두 배로 바꾼 4, 8, 12를 제시했다. 평균은 8, 편차는 -4, 0, 4, 제곱한 편차는 16, 0, 16이므로 분산은 32÷3이다. 이전 분산 8÷3의 네 배가 된다는 점까지 확인하면서, 모든 자료에 같은 수를 더하면 분산은 그대로지만 모든 자료에 같은 수를 곱하면 분산은 그 수의 제곱만큼 변한다는 사실을 숫자로 검증했다.
마지막으로 학생은 도움 없이 자료 5, 5, 8, 10의 평균을 구하고, 편차를 괄호 안에 적은 뒤 제곱한 편차의 합을 자료 개수로 나누었다. 평균은 7, 제곱한 편차는 4, 4, 1, 9이므로 분산은 18÷4=4.5이다. 답만 맞히는 데서 끝내지 않고 “편차를 그대로 더하지 않고 제곱한 뒤 네 자료로 나누었다”고 설명했을 때, 분산을 계산하는 절차와 조건을 새 문제에서도 독립적으로 꺼내 쓴 것으로 판단했다.