원천동중2수학과외, 경우의 수에서 조건을 선별하는 연습
경우의 수 문제를 풀 때 학생이 답을 틀리는 이유가 항상 계산에 있지는 않다. 원천동의 한 중2 학생은 가능한 경우를 빠르게 적으려다 같은 대상을 두 번 세고, 반대로 조건에 맞는 경우 하나를 빠뜨렸다. 풀이를 보여 달라고 하면 “모르겠어요”라고만 말했지만, 실제로는 문제의 조건을 어디까지 사용해야 하는지 표시하지 않은 것이 출발점이었다.
나열하기 전에 조건부터 골라내기
예를 들어 숫자 1, 2, 3, 4 중 서로 다른 두 개를 골라 두 자리 수를 만드는 문제에서 짝수를 만들라고 했다면 일의 자리에는 2 또는 4만 올 수 있다. 일의 자리를 먼저 정한 뒤 십의 자리를 배열하면 2×3=6가지다. 학생이 1을 십의 자리에 놓는 경우부터 무작정 나열하면 12, 14, 21, 24처럼 적다가 순서를 놓치거나 같은 조건을 다른 방식으로 다시 적기 쉽다.
조건 선별은 문제 수를 많이 늘리는 방식이 아니다. 한 문제에서 ‘반드시 지켜야 하는 조건’, ‘중복을 막는 조건’, ‘마지막에 확인할 조건’을 나누고, 그 조건 하나가 바뀌면 나열의 출발점과 개수가 어떻게 달라지는지 말할 수 있게 하는 훈련이다.
원천동 학생의 실제 오답 장면
학생에게 “A, B, C, D 네 명 중 회장과 부회장을 한 명씩 뽑되 A는 회장이 될 수 없을 때 경우의 수를 구하라”는 문제를 제시했다. 학생은 회장 후보를 A, B, C, D로 적은 뒤 각 경우에 부회장 세 명을 붙여 12라고 답했다. 그러나 A가 회장이 될 수 없다는 조건을 첫 줄에서 제외하지 않았다. 회장 후보는 B, C, D 세 명이고, 부회장은 회장과 다른 세 명이므로 3×3=9가지다.
또 다른 문제에서는 남학생 2명과 여학생 2명 중 한 명씩 뽑는 상황에서 남학생을 먼저 M1, M2, 여학생을 W1, W2로 나열했다. M1-W1과 W1-M1을 서로 다른 경우로 세어 답을 두 배로 만들었다. 이때 핵심 오류는 계산 실수가 아니라 뽑는 순서가 결과를 바꾸는지 판단하지 않은 경우 중복이었다.
“어디서부터 모르겠어?”라는 질문에 “그냥 모르겠어요”라고 답하지 않고, 조건을 지운 줄, 같은 경우를 다시 적은 줄, 빠진 경우가 생긴 줄 중 하나를 가리키게 한다.
조건표와 수형도로 풀이를 바꾸다
첫 단계에서는 문제의 조건을 문장 그대로 옮기지 않고 짧은 표시로 바꾼다. ‘A는 회장 불가’는 회장 후보 칸에서 A를 지우고, ‘서로 다른 두 명’은 두 번째 선택 칸에서 첫 번째 선택자를 제외하는 식이다. 학생은 풀이 옆에 ‘제외 조건’, ‘중복 확인’, ‘남은 조건’ 세 칸을 만들었다.
선택이 두 단계 이상이면 수형도를 그린다. 회장 후보 B에서 부회장 A, C, D를 뻗고, C와 D에서도 같은 방식으로 가지를 만든다. 단, 결과가 순서와 무관한 문제라면 M1-W1과 W1-M1을 한 묶음으로 표시한다. 나열한 뒤에는 첫 번째 조건을 만족하는지, 같은 결과가 두 번 있는지, 가능한 대상이 모두 등장했는지를 차례로 점검한다.
다음 날에는 틀린 문제 전체를 베끼지 않고 오류가 난 줄만 다시 수행했다. 12라고 쓴 줄 옆에는 ‘A 회장 제외 안 함’, 8이라고 쓴 줄 옆에는 ‘M1-W1 중복’처럼 원인을 구체적으로 적었다. 이후 같은 유형에서 숫자나 조건을 바꾸어 새로운 수형도를 만들었다.
학교 일정 속에서 짧게 이어 간 기록
원천동에는 광교호수중학교, 원천중학교, 중앙기독중학교가 있으며, 광교중학교와 동수원중학교는 같은 영통구의 참고 학교로 구분된다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정은 실제 안내문을 기준으로 확인해야 하며, 참고 학교의 출제 경향을 원천동 학교에 그대로 적용하지 않는다.
수행평가가 겹치고 평일 귀가 시간이 늦은 주에는 경우의 수 문제를 여러 장 풀기보다 25분 동안 한 문항의 조건표와 수형도를 완성하게 했다. 월요일에는 조건 표시, 수요일에는 나열과 중복 확인, 금요일에는 새 조건 문제의 독립 적용을 진행했다. 맞힌 문항도 풀이 설명에 시간이 오래 걸리면 아직 종료하지 않았다.
새 조건으로 확인한 독립 적용
기존의 네 명 선발 문제를 다시 맞히는 것으로 끝내지 않고, 후보를 5명으로 바꾸고 ‘A와 B는 같은 역할을 맡을 수 없다’는 조건을 추가했다. 학생은 회장 후보를 먼저 정한 뒤 부회장 후보를 세었고, A가 회장일 때 B를 제외하는 식으로 조건을 분기했다. 또 남녀 짝짓기 문제에서는 남학생 3명, 여학생 2명으로 수를 바꾸고, 순서가 없는 선택인지 확인한 뒤 같은 짝을 한 번만 표시했다.
검증 기준은 정답만이 아니다. 조건을 첫 줄에 반영했는지, 수형도의 가지가 빠지지 않았는지, 같은 결과를 다른 순서로 중복 기록하지 않았는지, 답의 의미를 문장으로 설명했는지를 함께 확인한다. 시간 제한 8분 안에 조건 표시부터 검산까지 마치면 해당 유형을 다음 단계로 넘긴다.
원천동중2수학과외에서 다루는 방식
수업에서는 학생이 적은 나열을 먼저 보고 답을 알려 주지 않는다. 어느 조건을 아직 사용하지 않았는지 질문하고, 학생이 직접 해당 줄을 지우거나 가지를 다시 그리게 한다. 경우의 수를 단순히 곱셈 공식으로 외우기보다 조건에 따라 곱셈, 나열, 수형도 중 어떤 방법이 적절한지 선택하도록 한다.
자주 묻는 내용
- 경우의 수는 문제를 많이 풀어야 하나요?
한 문제를 조건별로 바꾸어 중복과 누락이 사라지는지 확인하는 편이 효과적이다. - 수형도를 항상 그려야 하나요?
선택 단계가 늘어나거나 조건이 여러 개이면 수형도가 누락을 찾는 데 유용하다. 단순한 두 단계 선택은 조건표와 곱셈으로 충분할 수 있다. - 정답은 맞았는데도 다시 확인하나요?
풀이 이유를 설명하지 못하거나 시간이 과도하게 걸리면 숫자와 조건을 바꾼 새 문제로 다시 확인한다.