원천동고3수학과외

원천동 고3 수학과외: 타원의 조건을 식으로 복원하기

원천동에서 수원정보과학고등학교와 중앙기독고등학교의 학교별 시험 범위·수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 공부하던 고3 학생은 타원 문제에서 계산보다 조건 해석에서 막혔다. 같은 영통구의 효원고등학교·태장고등학교·이의고등학교는 참고 생활권으로만 두고, 학생은 자신의 일정에 맞춰 짧은 시간에도 정의를 먼저 복원하는 연습을 진행했다.

초점과 준선을 표시한 뒤 기본식을 세우기

문제에서 타원

&frac{x;²}{25} + &frac{y;²}{9} = 1

을 주었다. 학생은 먼저 중심을 (0, 0), 장축을 x축, a=5, b=3으로 표시했다. 따라서

c²=a²-b²=25-9=16, c=4

이므로 초점은 F₁(-4,0), F₂(4,0)이다. 타원의 정의에 따라 타원 위의 점 P(x,y)는

PF₁+PF₂=2a=10

을 만족한다. 또한 이 타원의 이심률은 e=c/a=4/5이고, 준선은

x=±a/e=±25/4

이다. 준선의 위치와 장축 방향을 먼저 표시하면 식의 범위를 잘못 해석할 가능성이 줄어든다.

실제 오답에서 빠진 정의 확인하기

학생의 오답: “타원은 두 초점이 (-4,0), (4,0)이고 c²=a²-b²이므로 답은 초점의 좌표이다.”

이 식은 초점의 위치만 계산했을 뿐, 타원의 핵심 정의인 두 초점까지 거리의 합이 일정하다는 조건을 쓰지 않은 오답이다. 초점 좌표만으로는 점이 타원 위에 있는지 판별할 수 없다.

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 변수의 관계를 다시 확인했다. a는 중심에서 꼭짓점까지의 거리이고, c는 중심에서 초점까지의 거리이므로 c²=a²-b²를 사용한다. 그러나 정의를 완성하려면 거리의 합까지 연결해야 한다.

예를 들어 P(5,0)을 대입하면

PF₁=9, PF₂=1, 따라서 PF₁+PF₂=10=2a

가 된다. 반대로 P(0,3)에서는 두 거리가 각각 5이므로 합도 10이다. 이렇게 대입과 역계산으로 수정한 정의를 검산했다.

초점과 준선을 옮긴 조건으로 독립 검증

다음에는 같은 타원을 반복하지 않고

&frac{(x-2)²}{16} + &frac{(y+1)²}{9} = 1

을 확인했다. 중심은 (2,-1), a=4, b=3이므로

c²=16-9=7, c=√7

이다. 장축이 x축 방향이므로 초점은 (2-√7,-1), (2+√7,-1)이고, 두 초점까지 거리의 합은 반드시 2a=8이다. 준선은

x=2±&frac{16;}{√7}

이다. 학생은 중심 이동을 빠뜨리지 않았는지 확인하고, 꼭짓점 (6,-1)을 대입해 두 초점까지 거리의 합이 (4+√7)+(4-√7)=8인지 재검산했다.