원천동고2수학과외

원천동고2수학과외: 시그마의 범위부터 읽는 수열의 합

원천동에서 학교별 시험 범위와 수행평가 준비를 함께 진행하다 보면, 수열의 합 단원에서 계산 속도보다 먼저 확인해야 할 부분이 드러난다. 특히 평일 귀가 시간이 다른 수원정보과학고등학교와 중앙기독고등학교 학생 모두에게, 시그마의 시작·끝 인덱스를 읽고 알맞은 공식을 선택하는 과정이 중요하다.

Σk²를 (Σk)²로 바꾼 순간

다음 식의 값을 구해 보자.

∑_k=1⁴ k² + 2∑_k=1⁴ k

풀이 중 학생은 먼저

∑_k=1⁴ k² = (∑_k=1⁴ k)² = (1+2+3+4)² = 100

이라고 적었다. 그러나 ∑k²는 각 항을 제곱한 뒤 더하는 것이므로

∑_k=1⁴ k² = 1²+2²+3²+4² = 30

이다. 반면 (∑k)²은 합을 먼저 구한 뒤 제곱한 값이다. 두 연산은 일반적으로 같지 않다. 따라서 원래 식은

30 + 2(1+2+3+4) = 30+20 = 50

이 된다.

공식보다 먼저 적어야 할 인덱스

∑_k=1ⁿ k, ∑_k=1ⁿ k², ∑_k=1ⁿ k³의 공식은 각각

∑k = n(n+1)/2,
∑k² = n(n+1)(2n+1)/6,
∑k³ = [n(n+1)/2]²

이다. 이 공식들은 모두 1부터 n까지 더하는 형태에 바로 적용된다. 예를 들어

∑_k=3⁷ k²

에는 n=7 공식을 그대로 넣은 뒤 1²과 2²을 빼야 한다.

∑_k=3⁷ k² = [7·8·15/6] - (1²+2²) = 140-5=135

따라서 답안 첫 줄에 k=3, 4, 5, 6, 7이라고 범위를 표시하게 했다. 시작 인덱스와 끝 인덱스가 모두 포함된다는 사실을 눈으로 확인하면, 1부터 n까지의 공식과 주어진 합을 구분하기 쉬워진다.

계산 결과를 원래 식으로 되돌려 확인하기

훈련에서는 다음 식을 계산한 뒤 사용한 규칙을 역으로 적용하게 한다.

∑_k=2⁵ k³

먼저 1부터 5까지의 세제곱 합에서 1³을 제거한다.

∑_k=2⁵ k³ = [5·6/2]² - 1³ = 225-1=224

이제 계산 결과 224에 빠진 첫 항 1³을 다시 더하면 225가 되고, 이는 ∑_k=1⁵ k³의 공식값과 일치한다. 이 역검산을 통해 공식의 적용 범위와 끝점 포함 여부를 함께 확인한다.

끝 인덱스가 달라진 합에서의 확인

새로운 식으로

∑_k=2⁶ k²

를 제시한다. 여기서는 k=2부터 k=6까지이므로 양 끝 항을 모두 포함한다.

∑_k=2⁶ k² = [6·7·13/6] - 1² = 91-1=90

답만 90이라고 적는 것이 아니라, 1부터 6까지의 합에서 1²을 뺐다는 중간식을 남기는지 확인한다. 범위가 바뀌어도 Σk²를 (Σk)²로 바꾸지 않고, 시작과 끝 인덱스를 먼저 표시한다면 수열의 합 문제에서 공식의 성립 범위를 안정적으로 유지할 수 있다.