수원하동고3수학과외

수원하동 고3수학과외: 중심이 바뀐 타원에서 후보값을 다시 검토하기

수원하동 생활권의 학생은 이의고등학교 통학 거리와 개인 생활 리듬에 따라 공부 가능한 시간이 달라질 수 있다. 같은 영통구의 수원하이텍고등학교, 효원고등학교, 망포고등학교, 광교고등학교는 참고 학교로 구분하며, 학교별 경향을 임의로 단정하지 않고 실제 풀이 과정에 집중했다.

초점까지의 거리 합으로 후보를 판단한 과정

초점이 F₁(-1,1), F₂(5,1)이고 두 초점까지의 거리의 합이 10인 점 P(x,1)을 구한다고 하자.

타원의 정의에 따라

|x+1|+|x-5|=10

이다. 학생은 먼저 두 초점 사이의 구간을 타원의 x좌표 범위라고 생각해 표의 첫 칸에 -1≤x≤5를 적었다. 그러나 이 구간에서는 좌변이 항상

(x+1)+(5-x)=6

이므로 10이 될 수 없다.

학생의 오답: -1≤x≤5에서 |x+1|+|x-5|=6이므로 해가 없고, 경계값 x=-1, 5를 답으로 기록함.

이 식은 틀렸다. -1과 5는 초점의 x좌표일 뿐, 타원의 정의를 만족하는 점의 범위를 자동으로 정하는 경계가 아니다. 절댓값의 부호가 바뀌는 지점인 -1과 5를 기준으로 구간을 나누어야 한다.

오답 줄을 표시하고 조건에 맞게 수정하기

• 틀린 줄: -1≤x≤5를 전체 후보 범위로 사용함.
• 조건 확인: x≤-1, -1≤x≤5, x≥5로 나누어 절댓값의 부호를 확인함.
• 식 수정: x≤-1이면 -(x+1)-(x-5)=10이므로 -2x+4=10, 따라서 x=-3이다.
• 다른 구간: x≥5이면 (x+1)+(x-5)=10이므로 2x-4=10, 따라서 x=7이다.

가운데 구간에서는 좌변이 6이므로 해가 없고, 최종 후보는 x=-3, 7이다. 실제로 대입하면 x=-3일 때 2+8=10, x=7일 때 8+2=10이므로 두 값 모두 조건을 만족한다.

중심 이동을 반영하지 않은 오답

이후 중심이 (3,-2)로 이동한 타원

(x-3)²/16+(y+2)²/9=1

을 풀면서 학생은 다음과 같이 적었다.

학생의 오답: x²/16+y²/9=1

중심이 원점이 아닌데 원점 중심 식을 사용했으므로 틀린 식이다. 좌표를 중심 기준으로 바꾸어 u=x-3, v=y+2로 두면 타원의 식은 u²/16+v²/9=1이 되고, 이를 원래 좌표로 되돌려야 한다.

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 중심 좌표를 다시 확인하고, 수정한 식에 점을 대입했다. 예를 들어 (3,1)을 대입하면

(3-3)²/16+(1+2)²/9=1

이므로 실제로 타원 위의 점임을 검산할 수 있다.

기울기를 바꾼 독립 검증

같은 타원에 직선 y+2=3(x-3)/4를 그어 교점을 확인했다. u=x-3, v=y+2라 하면 v=3u/4이므로

u²/16+(3u/4)²/9=u²/8=1

에서 u=±2√2를 얻는다. 따라서

(x,y)=(3+2√2,-2+3√2/2), (3-2√2,-2-3√2/2)

이다. 중심이 이동한 식을 사용하고 직선의 기울기도 새롭게 바꾸었지만, 두 점을 원래 타원식에 대입하면 각각 좌변이 1이 되어 독립적으로 검증된다.