수원하동고2수학과외

수원하동 고2수학과외: Σk²를 [Σk]²로 바꾸지 않는 수열의 합 정리

수원하동 생활권에서 이의고등학교까지의 이동 시간과 귀가 후 학습 가능 시간은 학생마다 다를 수 있다. 그래서 짧은 풀이에서도 식의 구조를 정확히 읽고, 학교 프린트의 변형 문제에 바로 적용하는 연습이 필요하다. 이번에는 수열의 합에서 계수와 부호가 바뀌어도 부분합을 다시 구성하는 과정을 살핀다.

Σ 기호 안의 항과 Σ 전체를 구분해야 하는 이유

다음 합을 계산해 보자.

S_n = Σ_k=1ⁿ(2k² - 3k + 1)

항별로 분리하면

S_n = 2Σk² - 3Σk + Σ1

이고, 각 공식은 다음과 같다.

Σk = n(n+1)/2,
Σk² = n(n+1)(2n+1)/6,
Σ1 = n

따라서

S_n = 2·n(n+1)(2n+1)/6 - 3·n(n+1)/2 + n

이다. 여기서 학생이 자주 적는 오답은 다음과 같다.

Σk² = [Σk]²

이 식은 합 안의 각 항을 제곱한 것과 합을 먼저 구한 뒤 제곱한 것을 같다고 본 오류다. 실제로 n=2이면

Σ_k=1²k² = 1²+2²=5

이지만

[Σ_k=1²k]² = (1+2)²=9

이므로 서로 다르다.

잘못된 줄과 수정한 줄을 나란히 놓기

변형 문제에서

T_n = Σ_k=1ⁿ(-k²+4k-2)

를 만났을 때는 부호와 계수를 먼저 분리한다.

달라진 기호는 대괄호와 제곱의 위치다. Σk²는 k²을 항마다 더한 것이므로 제곱 공식으로 처리하고, [Σk]²는 전혀 다른 식이다.

예를 들어 n=3을 대입하면

T₃ = -(1+4+9)+4(1+2+3)-2·3 = -14+24-6=4

이다. 잘못된 식을 사용하면

-(1+2+3)²+4(1+2+3)-6 = -36+24-6=-18

이 되어 실제 합과 크게 달라진다.

문자식에서 수치 계산으로 옮겨 가는 확인

공식만 외운 뒤 기호가 바뀐 문제에서 다시 같은 오류를 내지 않으려면, 풀이 줄마다 다음 순서를 남긴다.

1. Σ 안의 식을 항별로 분리한다.
2. k²에는 Σk² 공식을 적용한다.
3. 계수와 부호를 공식 앞에 그대로 둔다.
4. 작은 n을 넣어 원래 합과 결과를 비교한다.

문자 대신 n=4를 넣어

Σ_k=1⁴k² = 1+4+9+16=30

인지 확인하고,

[Σ_k=1⁴k]² = (1+2+3+4)²=100

과 비교한다. 두 값이 다르다는 사실을 직접 계산하면 합 기호의 범위와 제곱의 위치를 함께 확인하게 된다. 이후 계수가 바뀐

U = Σ_k=1⁴(3k²-2k+5)

에서도

U = 3(30)-2(10)+5(4)=90-20+20=90

으로 계산해야 한다. Σk²를 [Σk]²로 바꾸면 3·100-20+20=300이 되어 원래 합과 맞지 않는다.

이처럼 계수, 부호, 표현이 달라진 식에서도 합의 대상을 먼저 분리하고, 마지막에 구체적인 항을 직접 더해 결과를 대조하는 과정이 부분합을 안정적으로 연결하는 기준이 된다.