망포동 고3수학과외, 포물선의 기준선을 먼저 읽는 풀이
망포동에는 망포고등학교가 있고, 같은 영통구에는 효원고등학교·태장고등학교·이의고등학교·광교고등학교 등이 있다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정은 다를 수 있으므로, 이번 사례에서는 학생이 계산보다 포물선의 정의와 위치 관계를 먼저 확인하도록 풀이를 조정했다.
초점과 준선의 거리를 놓친 첫 풀이
초점이 \(F(2,1)\), 준선이 \(x=-2\)인 포물선 위의 점을 \(P(x,y)\)라 하자. 학생은 곧바로 표준형을 떠올려 식을 세우려 했지만, 초점까지의 거리와 준선까지의 거리를 비교하지 않았다.
학생의 오답
\[ \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=x+2 \]
이 식은 포물선의 정의를 완성하지 못한 오답이다. 점 \(P\)에서 준선 \(x=-2\)까지의 거리는 항상 양수인 \[ |x-(-2)|=|x+2| \] 이어야 한다. 따라서 오른쪽을 단순히 \(x+2\)로 쓰면 \(x<-2\)인 경우 거리값이 음수가 되는 문제가 생긴다.
정의에서 식을 만들고 위치를 확인하기
초점과 준선을 그림처럼 먼저 표시하면 다음 관계가 출발점이 된다.
\[ PF=\text{점 }P\text{에서 준선까지의 거리} \]그러므로 정확한 식은
\[ \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=|x+2| \]양변이 거리이므로 제곱해도 안전하다.
\[ (x-2)^2+(y-1)^2=(x+2)^2 \] \[ x^2-4x+4+y^2-2y+1=x^2+4x+4 \] \[ y^2-2y+1=8x \] \[ \boxed{(y-1)^2=8x} \]따라서 꼭짓점은 \(V(0,1)\), 축은 \(y=1\), 초점은 \(F(2,1)\), 준선은 \(x=-2\)이다. 표준형 \((y-k)^2=4p(x-h)\)와 비교하면 \(4p=8\), 즉 \(p=2\)이므로 꼭짓점에서 초점까지의 거리가 2라는 사실도 일치한다.
오류 줄만 표시하고 검산하는 과정
- 틀린 줄 표시: \(\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=x+2\)
- 조건 확인: 준선이 수직선 \(x=-2\)이므로 거리는 \(|x+2|\)이다.
- 식 수정: \(\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=|x+2|\)
- 대입 검산: \(P(2,5)\)를 넣으면 초점까지 거리는 \(4\), 준선까지 거리도 \(|2+2|=4\)이다.
실제로 \(P(2,5)\)는 \((5-1)^2=16\), \(8\cdot2=16\)을 만족하므로 구한 포물선 위에 있다. 반면 거리식을 확인하지 않고 표준형만 암기하면 초점과 준선의 위치가 바뀐 문제에서 같은 방식으로 오류가 반복된다.
초점과 준선을 옮긴 새 조건으로 확인하기
이번에는 초점이 \(F(-1,3)\), 준선이 \(x=5\)인 경우를 새로 검증한다. 축은 \(y=3\)이고, 초점과 준선의 중간에 꼭짓점 \(V(2,3)\)이 놓인다. 꼭짓점에서 초점까지의 방향이 왼쪽이며 거리는 3이므로
\[ (y-3)^2=4(-3)(x-2) \] \[ \boxed{(y-3)^2=-12(x-2)} \]여기서 \(y=0\)으로 두면
\[ 9=-12(x-2),\qquad x=\frac54 \]점 \(P\left(\frac54,0\right)\)에 대해 초점까지 거리는
\[ \sqrt{\left(\frac54+1\right)^2+(0-3)^2} =\sqrt{\left(\frac94\right)^2+9} =\frac{15}{4} \]준선 \(x=5\)까지의 거리도
\[ \left|\,\frac54-5\,\right|=\frac{15}{4} \]로 같다. 초점과 준선의 방향이 반대로 바뀌어도 두 거리를 같게 놓는 정의는 변하지 않으며, 절댓값을 포함한 거리식과 표준형의 부호가 함께 맞아야 한다.