여의동 고3 수학과외, 문자와 초기조건이 바뀐 적분의 재검토
여의동에는 여의도고등학교와 여의도여자고등학교가 있고, 같은 영등포구의 대영고등학교·관악고등학교·장훈고등학교도 참고할 수 있다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정이 다르므로, 이 사례에서는 특정 학교의 경향보다 풀이 과정에서 드러난 개념 적용을 중심으로 확인했다.
문자를 바꾸면 부분적분 기준도 다시 세워야 한다
학생에게 다음 조건을 주었다.
F′(t) = t ln t, F(1) = 0 (1 ≤ t ≤ e2)
먼저 정의역에서 ln t가 존재하려면 t > 0이어야 한다. 이때 곱의 한 항을 미분할 함수로 정해 부분적분을 적용한다.
u = ln t, dv = t dt
이면
du = 1/t dt, v = t2/2
이므로
∫t ln t dt = (t2/2)ln t − ∫(t2/2)(1/t)dt
= (t2/2)ln t − t2/4 + C
초기조건 F(1)=0을 대입하면
0 = 0 − 1/4 + C이므로 C = 1/4이다. 따라서
F(t) = (t2/2)ln t − t2/4 + 1/4
학생의 오답과 멈춘 지점
문자의 이름을 x에서 t로 바꾼 뒤 학생은 다음과 같이 적었다.
∫t ln t dt = (t2/2)ln t − ∫(t2/2)·t dt
이 식은 오답이다. ln t를 미분할 때는 t가 아니라 1/t가 곱해져야 하므로, 두 번째 적분은 ∫(t2/2)(1/t)dt이어야 한다. 학생은 부분적분 공식을 모른다기보다 문자가 바뀐 뒤에도 ‘곱에서 어느 항을 미분할지, 그 도함수가 무엇인지’라는 기준을 처음부터 확인하지 않았다.
또한 ln(t−2)가 포함된 변형식에서 정의역을 t−2 > 0으로 정리하지 않고, 해설을 찾을 때까지 풀이를 중단했다. t ≠ 2처럼 제외값만 괄호로 표시하는 것은 충분하지 않으며, 실제로는 t > 2라는 범위 조건을 함께 확인해야 한다.
틀린 줄을 표시하고 조건부터 다시 검산하기
학생은 오답 줄의 t 부분을 표시한 뒤 다음 순서로 수정했다.
- ln t의 정의역을 t > 0으로 적는다.
- u와 dv를 다시 정하고 d(ln t)/dt = 1/t를 확인한다.
- 잘못된 t를 1/t로 고쳐 식을 다시 계산한다.
- 완성한 원시함수를 미분해 F′(t)=t ln t가 되는지 확인한다.
- t=1을 대입해 초기조건 F(1)=0이 맞는지 역검산한다.
특히 ln(t−2)가 있는 식은 t−2>0을 먼저 적고, 새 구간이 3≤t≤e+2라면 모든 값이 정의역에 포함되는지 확인했다. 후보값 t=2는 괄호로 제외하는 데 그치지 않고, 구간과 정의역의 교집합에서 실제로 제거해야 한다.
새 함수와 초기조건으로 독립 확인
같은 풀이를 반복하지 않도록 다음 문제를 제시했다.
G′(x) = (x−3)ln(x−3), G(4)=0, 4≤x≤e2+3
이번에는 y=x−3으로 치환하면 y의 범위는 1≤y≤e2가 된다. 부분적분에서
u = ln y, dv = y dy
를 선택하면
G(x) = ((x−3)2/2)ln(x−3) − (x−3)2/4 + 1/4
이다. x=4를 대입하면 G(4)=0이고, 이를 미분하면 G′(x)=(x−3)ln(x−3)가 다시 나온다. 학생은 이전 예제의 숫자를 그대로 따라가지 않고, 바뀐 함수식과 초기조건에서 미분 항 1/(x−3) 및 범위 x>3을 새로 확인하며 같은 수정행동을 재현했다.