여의동고2수학과외

여의동고2수학과외에서 확인한 로그부등식의 경계 판단

여의도고등학교와 여의도여자고등학교의 학교별 내신 일정, 여의도공작아파트·여의도수정아파트 생활권 학생의 주간 학습량은 서로 다를 수 있지만, 로그부등식 풀이에서는 공통적으로 식의 경계와 정의역을 분리해 읽는 과정이 필요하다.

x=2를 지나치는 순간 해 구간이 사라졌다

답안에 log₂(x-2)>0이 적혀 있었지만, 수직점근선이나 구간 표시가 없었다. 이 식에서 x=2는 로그의 진수가 0이 되는 값이므로 정의역의 경계이며, 그래프의 수직점근선도 x=2이다.

밑 2는 1보다 크므로 로그함수는 증가한다. 따라서

log₂(x-2)>0 ⇔ x-2>2⁰=1 ⇔ x>3

정답은 (3, ∞)이다. x=2에서 구간을 나누지 않았다는 것은 단순히 그래프를 빠뜨린 것이 아니라, 먼저 확인해야 할 정의역 x>2와 해의 경계 x=3을 구별하지 못한 풀이였다.

점근선과 해의 끝점을 한 줄에 함께 표시하기

같은 위치에 숫자만 바꾼 미니문제로 log₂(x-5)>0을 제시했다. 답안에는 먼저 x-5>0을 적어 수직점근선 x=5를 표시하고, 그다음

x-5>1 ⇔ x>6

으로 정리해야 한다. 수직점근선은 해의 끝점이 아니라 정의역이 시작되는 위치이고, 실제 부등식의 경계는 x=6이다. 따라서 구간은 (5,6)과 (6,∞)로 나누어 확인한 뒤, 최종 해를 (6,∞)로 적는다.

계수의 부호가 바뀐 로그식에서 조건을 먼저 세우기

이 판단이 새로운 표현에서도 유지되는지 log₃(7-2x)>1로 확인했다. 답안의 첫 줄은 반드시

7-2x>0 ⇔ x<7/2

이어야 하며, 수직점근선은 x=7/2이다. 밑 3은 증가함수이므로

7-2x>3 ⇔ -2x>-4 ⇔ x<2

가 된다. 정의역 조건 x<7/2 안에서도 해는 (-∞,2)로 좁혀진다. 계수 -2 때문에 부등식 방향을 바꾸는 과정과 점근선의 위치를 함께 기록해야 한다.

큰 수에서도 점근선과 해 구간을 따로 검산하기

마지막으로 log₅(23-4x)<2를 제시했다. 먼저 진수 조건에서 x<23/4, 수직점근선은 x=23/4이다. 밑 5는 증가하므로

23-4x<5²=25 ⇔ -4x<2 ⇔ x>-1/2

이다. 두 조건을 교집합하면 해는 (-1/2, 23/4)이다. 끝점 -1/2에서는 진수가 25가 되어 로그값이 2가 되고, 23/4에서는 진수가 0이 되어 로그가 정의되지 않으므로 둘 다 포함하지 않는다. 숫자가 커져도 점근선, 정의역, 부등식의 경계를 차례로 적는 풀이가 유지되는지를 확인할 수 있다.