고암동 고2수학과외: 부등식 귀납법에서 k+1 연결 잡기
덕정고등학교가 고암동에 소재하고, 옥빛고·덕현고·덕계고·양주백석고는 같은 양주시의 참고 학교로 구분된다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려할 때 수학적 귀납법은 풀이 과정을 짧게 외우기보다 각 줄의 부등호가 왜 유지되는지 확인하는 연습이 필요하다.
3n > n2에서 사라진 중간식
다음 명제를 증명한다고 하자.
n≥2인 모든 자연수 n에 대하여 3n > n2
처음에는 32=9>4=22이므로 성립한다. 이제 어떤 자연수 k≥2에서
3k > k2
라고 가정한다. 학생 답안에는 다음과 같은 줄이 나타났다.
3k+1 > (k+1)2
하지만 이 부등식은 가정만으로 바로 얻을 수 없다. 가정의 양변에 양수 3을 곱하면
3k+1 = 3·3k > 3k2
까지만 확실하다. 그다음에는 3k2와 (k+1)2의 크기를 비교해야 한다.
3k2-(k+1)2 = 2k2-2k-1
이고, k≥2이면
2k2-2k-1 = 2k(k-1)-1 ≥ 3 > 0
이다. 따라서 3k2 > (k+1)2이고, 결과적으로
3k+1 > 3k2 > (k+1)2
가 성립한다. 학생이 추가항의 부호를 확인하지 않고 부등호를 그대로 유지한 것이 문제였던 셈이다. 3k2>-(k+1)2가 양수인지 확인해야 다음 단계의 방향을 정당화할 수 있다.
다음 계산 전에 네모로 고정할 조건
변형된 귀납 문제를 풀 때는 식을 이어 쓰기 전에 다음 세 가지를 답안에 표시한다.
- □ k의 범위: k≥2
- □ 가정에 곱한 수: 3>0
- □ 추가 비교: 3k2-(k+1)2>0
이 확인을 마친 뒤에만 3k+1>(k+1)2라고 결론 내린다. 중간에 일부러 3k2를 남겨 두면, 이전 풀이를 베끼지 않고 k+1 항으로 넘어가는 연결을 직접 확인할 수 있다.
계수가 바뀐 문제에서 다시 확인하기
다음 명제를 같은 방식으로 증명한다.
n≥4인 모든 자연수 n에 대하여 2n≥n2
기초 단계는 24=16=42이다. 귀납가정을 2k≥k2라 하면
2k+1 = 2·2k ≥ 2k2
이고, k≥4에서
2k2-(k+1)2 = k2-2k-1 ≥ 7 > 0
이다. 따라서 2k2>(k+1)2이므로 2k+1>(k+1)2가 된다. 여기서는 시작 부등호가 ≥였지만, 비교식의 양수가 확인되어 다음 단계에서는 >가 된다는 점까지 기록해야 한다.
새 조건에서도 학생이 먼저 k의 범위와 곱한 수의 부호를 적고, 2k2-(k+1)2의 부호를 계산했다면 k+1 연결을 스스로 복원한 것으로 판단할 수 있다.