고암동고1수학과외, 명제의 참·거짓과 조건 범위 읽기
덕정고등학교의 학교 자료와 교과서 문제를 함께 살펴볼 때, 명제 단원에서는 계산보다 먼저 문장의 구조를 판단해야 한다. 고암동에서 평일 귀가 후 확보한 짧은 시간에 문제를 풀더라도, 답을 쓰기 전 조건의 범위와 참·거짓 판정 근거를 한 줄 남기는 연습이 필요하다.
숫자를 계산하기 전에 문장 전체를 읽어야 하는 이유
예를 들어 명제 \(p\)를 “\(x^2=9\)이면 \(x=3\)이다”라고 하자. \(x=3\)일 때 \(x^2=9\)이므로 한 사례는 맞지만, \(x=-3\)도 \(x^2=9\)를 만족한다. 따라서 조건 \(x^2=9\)의 범위에는 \(x=3\)과 \(x=-3\)이 모두 포함되고, 결론 \(x=3\)은 항상 성립하지 않는다. 이 명제는 거짓이다.
반대로 “정수 \(x\)가 \(x^2=9\)이면 \(x\)는 \(3\) 또는 \(-3\)이다”는 참이다. 같은 식 \(x^2=9\)을 사용해도 결론의 범위가 달라지면 명제의 참·거짓이 바뀐다.
답안에 계산만 남은 장면
학생의 풀이에는 다음과 같은 흔적이 있었다.
\(x^2=9\)
\(x=3\)
따라서 참
이 답안은 \(x=-3\)을 조건에 넣어 보지 않았고, 주어진 명제가 “\(x=3\)”이라고 단정하는 문장인지도 확인하지 않았다. 학생은 명제의 참·거짓과 조건의 범위를 구분하는 절차를 적지 않은 채 계산 결과를 바로 결론으로 옮겼다. 현재 상태는 식을 푸는 능력과 명제의 논리적 범위를 판정하는 과정이 아직 연결되지 않은 경우에 가깝다.
조건과 결론을 분리해 판정하기
문장 “정수 \(x\)에 대하여 \(x^2=4\)이면 \(x+1=3\)이다”를 판단해 보자. 조건은 \(x^2=4\)이고 결론은 \(x+1=3\)이다.
- 조건 \(x^2=4\)에서 \(x=2\) 또는 \(x=-2\)이다.
- \(x=2\)이면 결론 \(x+1=3\)이 참이다.
- \(x=-2\)이면 \(x+1=-1\)이므로 결론이 거짓이다.
- 조건을 만족하면서 결론을 깨뜨리는 \(x=-2\)가 있으므로 전체 명제는 거짓이다.
이때 필요한 것은 답 옆에 “조건의 해: \(2,-2\)”와 “반례: \(x=-2\)”를 적는 것이다. 명제가 거짓임을 보일 때는 반례 하나면 충분하지만, 참이라고 판단할 때는 조건을 만족하는 모든 경우가 결론을 만족하는지 확인해야 한다.
학교 일정 속에 넣는 짧은 확인 절차
덕정고등학교의 시험 범위나 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 명제 문제를 많이 풀기보다 한 문항의 답안 구조를 정확히 남기는 방식이 적절하다. 평일 귀가 후에는 문제 옆에 ① 조건 ② 조건을 만족하는 범위 ③ 결론 ④ 반례 또는 전체 확인의 네 항목을 짧게 기록한다. 같은 양주시의 옥빛고등학교, 덕현고등학교, 덕계고등학교, 양주백석고등학교는 참고 학교일 뿐 고암동 소재 학교로 단정하지 않으며, 학교별 자료의 실제 범위에 맞춰 문항을 골라야 한다.
형식이 바뀐 문제에서 다시 확인하기
연습한 뒤에는 다음 문항으로 절차가 재현되는지 확인한다.
“실수 \(x\)에 대하여 \(x>1\)이면 \(x^2>1\)이다”라는 명제에서 학생이 먼저 해야 할 일은 \(x\)의 범위를 \(x>1\)로 적는 것이다. 이 범위에서는 \(x\)가 양수이고 \(x^2>1^2=1\)이므로 명제는 참이다. 반대로 “실수 \(x\)에 대하여 \(x^2>1\)이면 \(x>1\)이다”에서는 \(x=-2\)가 \(x^2>1\)을 만족하지만 \(x>1\)은 만족하지 않으므로 거짓이다.
학교 프린트와 표현이 다른 문제집 문항에서 학생이 계산 전에 조건의 범위를 적고, 참인 경우에는 모든 범위를 설명하며, 거짓인 경우에는 반례를 제시하는지 본다. 다음 학습 시점에 그 절차를 재현하지 못한 문항만 따로 남겨 다시 확인하면, 정답을 베껴 쓰는 것과 명제 판단 과정을 스스로 수행하는 것을 구별할 수 있다.