안양 고3수학과외에서 벡터의 방향과 실수배를 함께 확인한 사례
평촌동과 관양동 생활권에서 학교 수업과 과제를 마친 뒤 늦은 시간에 풀이를 정리하는 고3 학생은 답이 두 개 나오는 벡터 문제에서 계산 결과보다 해설의 답을 먼저 확인하려는 습관이 있었다. 특히 도형의 위치가 바뀌거나 실수배 계수가 음수가 되면 방향과 크기를 따로 점검하지 않았다.
두 점을 잇는 벡터 위의 점 찾기
점 A(1, 2), B(5, -1)과 점 Q(3, 0)에 대하여
P=A+t(B-A), 0≤t≤1
이고 |P-Q|=√5일 때 실수 t를 구해 보았다.
먼저 B-A=(4, -3)이므로
P=(1+4t, 2-3t)이다. 따라서
P-Q=(-2+4t, 2-3t)
이고 거리 조건은
(4t-2)2+(2-3t)2=5
이다. 전개하면
16t2-16t+4+4-12t+9t2=5
이므로
25t2-28t+3=0
이다. 인수분해가 되지 않으므로 근의 공식을 적용하면
t=(28±√(784-300))/50=(28±22)/50
따라서 t=1, 3/25이고 둘 다 0≤t≤1을 만족한다. 즉 선분 AB 위에서 조건을 만족하는 점이 두 개 생긴다.
틀린 전개를 선분 조건과 함께 고친 과정
학생의 오답: 25t2-4t+3=0
이 식은 틀렸다. (4t-2)2의 일차항은 -16t이고 (2-3t)2의 일차항은 -12t이므로 두 항의 합은 -28t이다. 그래프와 식의 관계를 확인하지 않은 채 해설을 찾으려 한 것이 오류의 원인이었다.
- 틀린 줄 표시: 25t2-4t+3=0
- 변수 관계 확인: t는 A에서 B까지 이동한 비율이므로 0≤t≤1이어야 하며, P-Q의 두 성분을 각각 제곱해야 한다.
- 식 수정: (4t-2)2+(2-3t)2=5에서 25t2-28t+3=0으로 고친다.
- 수직선 검산: 경계 0, 3/25, 1을 표시해 두 근이 선분 내부에 있는지 확인한다.
- 재대입: t=1이면 P=(5,-1), P-Q=(2,-1)이므로 거리는 √5이다. t=3/25이면 P=(37/25, 41/25), P-Q=(-38/25, 16/25)이고 거리의 제곱은 5이다.
음의 분수 실수배로 바꾼 독립 검증
이번에는 벡터 u=(6,-8)에 -1/2을 곱해 보았다.
-1/2u=(-3,4)이므로 길이는 1/2|u|=5이고 방향은 반대가 된다. 단순히 길이만 절반으로 줄여 (3,-4)라고 쓰면 크기는 맞지만 방향이 틀린다. 두 벡터의 내적은
(6,-8)·(-3,4)=-18-32=-50<0
이므로 실제로 둔각 방향, 즉 반대 방향임도 확인할 수 있다. 계수의 절댓값은 크기를, 계수의 부호는 방향을 결정한다는 관계를 다른 좌표 문제에도 적용하도록 풀이를 마무리했다.