안양고2수학과외

안양고2수학과외, 수학적 귀납법에서 k+1의 목표를 다시 세우는 연습

수학적 귀납법 문제에서 계산은 맞았지만 증명이 끊기는 순간이 있다. k일 때의 식을 이용하면서도, k+1에서 무엇을 보여야 하는지 먼저 적지 않는 경우다. 특히 계수와 부호가 달라진 문제에서는 익숙한 전개를 반복하다가 목표식과 연결하지 못한다.

계산 전에 k+1에서 보여야 할 식을 적는다

다음 명제를 증명한다고 하자.

1+3+5+⋯+(2n-1)=n²

n=k일 때 성립한다고 가정하면

1+3+5+⋯+(2k-1)=k²

이제 k+1일 때의 목표는 마지막 항이 2(k+1)-1=2k+1이므로

1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²

이어야 한다. 그런데 풀이 흔적에 목표식은 없고 좌변만 계산해

k²+2k+1

이라고 끝내면, 계산 결과는 맞아도 이것이 왜 k+1의 목표인지는 드러나지 않는다. 정확한 연결은

k²+2k+1=(k+1)²

이다. 즉 k일 때의 결과에 새 항 2k+1을 더한 뒤, 목표식의 형태인 (k+1)²로 정리해야 한다.

계수와 부호가 바뀌면 목표식부터 새로 만든다

예를 들어 다음 명제를 보자.

2+4+6+⋯+2n=n(n+1)

k일 때

2+4+6+⋯+2k=k(k+1)

라고 가정한다. k+1에서 더해지는 항은 2(k+1)=2k+2이고, 새롭게 보여야 할 목표는

(k+1)((k+1)+1)=(k+1)(k+2)

이다. 따라서 좌변은

k(k+1)+(2k+2)

=(k+1)(k+2)

로 연결된다. k(k+1) 뒤에 단순히 2k+2를 더하는 것만 적으면 목표식의 계수 변화가 확인되지 않는다. 기존 결과, 새 항, k+1의 목표를 한 줄 안에서 대응시키는 것이 필요하다.

역으로 되돌려 연결이 맞는지 확인하기

훈련할 때는 정방향 계산만 하지 않고 사용한 규칙을 거꾸로 적용한다. 앞의 식에서

k(k+1)+(2k+2)=(k+1)(k+2)

라고 정리했다면, 오른쪽을 전개해

(k+1)(k+2)=k²+3k+2

로 확인하고, 여기서 새 항 2k+2를 빼면

k²+3k+2-(2k+2)=k²+k=k(k+1)

이 되어 k일 때의 가정이 복원된다. 이 역검산을 답안 마지막에 남기면 목표식이 우연히 나온 것인지, k의 결과와 새 항에서 논리적으로 만들어진 것인지 구별할 수 있다.

새 조건에서도 목표를 먼저 세우는가

마지막에는 숫자와 표현을 바꾼 다음 문제를 제시한다.

−3−6−9−⋯−3n=−3n(n+1)/2

k일 때의 결과를 이용하면 k+1에서 추가되는 항은 −3(k+1)이다. 따라서 먼저 적어야 할 목표는

−3(k+1)(k+2)/2

이고, 좌변 연결은

−3k(k+1)/2−3(k+1)

=−3(k+1)(k+2)/2

가 된다. 이때 학생이 음수 부호를 유지한 채 k+1의 목표를 적고, 새 항을 확인한 뒤, 전개식에 −3(k+1)을 역으로 빼서 −3k(k+1)/2를 복원하는지 살핀다. 안양의 학교 과제와 지필평가를 준비할 때도 이 순서가 유지되면, 익숙한 공식이 아닌 새로운 계수와 부호의 귀납법 문제에서도 증명의 연결을 스스로 완성할 수 있다.