안양동중1수학과외, 전개도에서 면의 이웃 관계를 확인하는 방법
“이 면을 접으면 위에 오겠지?”라고 눈으로만 판단한 뒤 전개도를 고르는 학생이 있다. 그림을 보는 순간에는 맞는 것처럼 느껴지지만, 실제로 종이를 접어 보거나 면의 연결 관계를 따져 보면 한 면이 두 번 사용되거나 서로 마주 보는 면이 붙어 있는 경우가 생긴다. 중1 전개도 문제에서는 입체도형의 모양을 대략 기억하는 것보다 각 면이 어느 면과 이어지는지 표시하는 과정이 중요하다.
안양동에는 근명중학교, 성문중학교, 신성중학교, 신안중학교, 안양서중학교, 안양여자중학교가 있다. 학교별 시험 내용을 단정하기보다는 자녀의 귀가 시각과 과제량을 확인한 뒤, 전개도 문제를 눈으로만 넘기는지 실제 표시를 하며 재풀이하는지를 점검하는 편이 학습 관리에 도움이 된다.
전개도를 볼 때 가장 먼저 나타나는 행동
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 정육면체 전개도가 여러 개 제시되었을 때 학생은 가운데 면의 모양만 보고 “이건 접히니까 맞다”고 말한다. 하지만 어느 면이 가운데 면과 맞닿는지, 접은 뒤 서로 마주 보는 면이 무엇인지는 표시하지 않는다. 모서리의 길이나 그림의 방향만 비교하다가 같은 모양이 반복된 전개도를 정답으로 고르기도 한다.
이때 학생은 틀린 선택지를 골라도 왜 틀렸는지 설명하지 못한다. 전개도의 선을 입체도형의 모서리로 보고, 실제로 접었을 때 서로 붙는 면과 단순히 그림에서 가까이 있는 면을 구분하지 못하기 때문이다. 면이 가까이 그려졌다는 사실과 접은 뒤 이웃 면이 된다는 사실은 같지 않다.
종이를 접기 전에 해야 할 표시
먼저 기준 면 하나를 정한다. 정육면체 전개도에서 가운데 면을 1번으로 표시하고, 그 면의 위·아래·왼쪽·오른쪽에 붙은 면을 각각 2번, 3번, 4번, 5번으로 적는다. 마지막 면은 어느 면의 바깥쪽에 연결되는지 표시한다. 그림을 보며 “위로 접힌다”고 상상하는 대신, 기준 면과 직접 이어진 면을 먼저 확인하는 방식이다.
그다음 면의 이웃 관계를 간단한 표로 옮긴다.
- 1번 면의 이웃: 2번, 3번, 4번, 5번
- 1번 면과 직접 붙지 않은 면: 6번
- 1번과 6번이 접은 뒤 마주 보는지 확인
정육면체에서는 한 면에 네 개의 면이 이웃하고 한 개의 면이 마주 본다. 따라서 전개도에서 기준 면 주변에 네 면이 연결되어 있더라도, 나머지 면이 접힌 뒤 어느 위치에 놓이는지까지 확인해야 한다. 단순히 모든 면이 한 번씩 보인다는 이유만으로 올바른 전개도라고 판단해서는 안 된다.
실제 오답을 한 단계만 되돌리는 연습
예를 들어 학생이 전개도에서 가운데 면의 위쪽에 A, 오른쪽에 B, 아래쪽에 C, 왼쪽에 D가 있고, A의 바깥쪽에 E, E 옆에 F가 연결된 그림을 보았다고 하자. 학생이 “A와 E가 위아래로 이어져 있으니 접으면 같은 방향에 놓인다”고 적었다면, 전체 풀이를 다시 베끼게 하지 않는다.
실패한 줄인 “A와 E가 같은 방향”에만 표시한다. 기준 면을 1번으로 두고 A가 어느 모서리를 따라 접히는지, E는 A를 기준으로 다시 어느 방향으로 접히는지를 화살표로 나타낸다. 이후 E가 기준 면과 마주 보는지, 이미 다른 면이 차지한 위치로 겹치는지를 확인한다. 학생은 답만 고치는 것이 아니라 잘못된 판단이 시작된 줄을 찾아 다시 수행한다.
면에 번호를 쓰고, 접히는 방향을 화살표로 표시하며, 서로 만나는 모서리는 같은 색으로 표시한다. 그림을 눈으로만 읽던 학생도 이 과정을 거치면 “가까이 있다”와 “접은 뒤 이웃이다”를 분리해서 판단할 수 있다.
문장제와 학교 프린트에 적용하기
전개도 문제의 문장이 길어지면 학생은 그림부터 보고 조건을 생략한다. “색칠한 면이 위에 놓인다”, “점이 찍힌 면이 앞면이다”와 같은 조건이 추가되었는데도 입체도형의 전체 모양만 맞추려 한다. 이때는 문장 속 조건을 면 번호 옆에 짧게 옮긴다. 예를 들어 ‘색칠한 면’은 3번 면에 색칠하고, ‘앞면’은 기준 면으로 정한 뒤 접은 결과를 확인한다.
시험 직전에는 정답을 이미 맞힌 전개도까지 계속 복습 목록에 남겨 두기보다, 표시 없이 맞힌 문제와 표시 후 근거를 설명한 문제를 구분한다. 정답 여부보다 면 번호와 이웃 관계를 사용했는지가 기준이다. 단위를 확인하지 않고 큰 숫자를 먼저 비교하는 습관은 전개도에서도 비슷하게 나타난다. 그림의 크기나 면의 위치가 눈에 크게 보인다고 해서 그것을 근거로 삼지 않도록 한다.
다음 문제에서 독립적으로 확인하는 장면
같은 전개도를 바로 다시 풀게 하는 것으로 끝내지 않는다. 다음에는 면의 배열을 바꾸고, 기준 면을 다른 위치로 정한 문제를 제시한다. 일부 면에 점이나 색을 추가하고, “색칠한 면과 마주 보는 면”처럼 질문의 표현도 바꾼다. 학생은 새 그림에서 먼저 기준 면을 정하고 면 번호를 붙인 뒤, 이웃 면과 마주 보는 면을 스스로 찾아야 한다.
시간 제한을 두었을 때도 모든 면을 무작정 오려 붙이지 않고, 기준 면·이웃 관계·마주 보는 면 순서로 확인하는지 살핀다. 막히면 문제를 보류하고 다른 문항을 푼 뒤 돌아왔을 때도 표시 방법을 유지해야 한다. 수행평가 자료를 지필형 문제로 바꾼 경우에는 그림을 직접 오리지 못하므로, 면 번호와 화살표만으로 접힌 결과를 설명하게 한다.
다음 날에는 숫자나 문장 조건이 달라진 전개도를 다시 풀고, 일주일 뒤에는 도형을 회전한 그림에서 같은 관계를 찾게 한다. 새로운 배열에서도 오류가 시작된 줄을 찾아 수정하고 근거까지 말할 수 있다면, 전개도를 눈으로 추측하는 단계에서 면의 관계를 검증하는 단계로 넘어간 것이다.