부곡동 고3 수학과외에서 표본공간부터 점검하는 확률 풀이
부곡동의 부곡고등학교와 안산공업고등학교 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간이 다를 수 있으므로 학습 시간을 정할 때 문제 풀이의 시작 단계를 분명히 나누는 것이 중요하다. 같은 상록구의 성안고등학교·상록고등학교·송호고등학교는 참고 생활권으로 볼 수 있지만, 부곡동 소재 학교와 구분해 학습 계획을 세운다.
분모를 먼저 정하지 않아 생긴 오답
학생은 주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 2개, 흰 공 1개가 있을 때 공 2개를 동시에 꺼내는 문제에서 “빨간 공이 하나 이상 나올 확률”을 구했다.
답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: 빨간 공이 3개이므로 \(P(A)=\frac{3}{6}=\frac12\)
이 식은 표본공간을 쓰지 않고 원하는 빨간 공의 개수만 세어 분자를 정한 잘못된 풀이이다. 한 개가 아니라 두 개를 동시에 뽑으므로 결과는 공의 조합이며, 전체 경우의 수와 유리한 경우의 수를 모두 같은 기준으로 세어야 한다.
사건과 표본공간을 연결한 수정
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, “무엇을 한 번 시행한 결과로 볼 것인가?”를 먼저 확인했다. 공 6개 중 2개를 동시에 선택하므로 표본공간의 크기는
\[ |\Omega|={6\choose2}=15 \]
이다. 사건 \(A\)를 “빨간 공이 하나 이상 나오는 사건”으로 두면, 여사건 \(A^c\)는 “빨간 공이 하나도 나오지 않는 사건”이다. 파란 공과 흰 공은 모두 3개이므로
\[ |A^c|={3\choose2}=3,\qquad |A|=15-3=12 \]
따라서 정확한 확률은
\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} =\frac{12}{15} =\frac45 \]
이다. 학생은 수정한 식에 직접 \(12+3=15\)를 대입해 사건과 여사건이 전체를 이루는지 확인했고, 빨간 공 1개와 2개가 나오는 경우를 따로 세어
\[ {3\choose1}{3\choose1}+{3\choose2}{3\choose0} =9+3=12 \]
로 같은 결과가 나오는지도 역검산했다. 이 과정을 통해 “유리한 개수만 세는 것”과 “전체 중 유리한 비율을 구하는 것”을 구별했다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 빨간 공 2개, 파란 공 4개가 있는 주머니에서 공 3개를 동시에 뽑는다. 사건 \(B\)를 “빨간 공이 정확히 1개 나오는 사건”으로 정하면 표본공간은
\[ |\Omega|={6\choose3}=20 \]
이고, 사건 \(B\)의 경우의 수는
\[ |B|={2\choose1}{4\choose2}=2\cdot6=12 \]
이므로
\[ P(B)=\frac{12}{20}=\frac35 \]
이다. 학생은 이번에는 도움 없이 전체 경우의 수를 먼저 적은 뒤, 빨간 공 1개와 파란 공 2개의 관계를 식으로 표현했다. 또한 빨간 공이 0개, 1개, 2개인 경우의 확률 합이
\[ \frac{{2\choose0}{4\choose3}+{2\choose1}{4\choose2}+{2\choose2}{4\choose1}}{20} =\frac{4+12+4}{20}=1 \]
인지 확인해 표본공간 누락과 분모 오류를 스스로 검증했다.