부곡동고2수학과외: 변과 마주 보는 각을 먼저 확인하는 사인법칙
사인법칙 문제에서 계산기보다 먼저 확인할 것은 변과 각의 대응 관계다. 삼각형에서 변 a는 각 A의 맞은편에 있고, 변 b는 각 B의 맞은편에 있다. 따라서
a / sin A = b / sin B = c / sin C
처럼 같은 변과 그 변의 대각을 한 쌍으로 묶어야 한다. 부곡고등학교와 안산공업고등학교의 시험 범위와 평일 귀가 시간을 함께 고려해 학습할 때도, 이 단원은 문제 수를 늘리기보다 그림에 대응 표시를 남기는 풀이가 우선이다. 성안고·상록고·송호고는 같은 상록구의 참고 학교일 뿐 부곡동 소재 학교와는 구분해야 한다.
a와 B를 묶은 순간 생긴 값
다음 삼각형에서 A=30°, B=45°, a=6일 때 b를 구해 보자.
정확한 대응은
a ↔ A, b ↔ B
이므로
6 / sin 30° = b / sin 45°
이다. 따라서
b = 6 × sin 45° / sin 30° = 6 × (√2/2) ÷ (1/2) = 6√2
그런데 답안에는 a / sin B = b / sin A가 먼저 적혀 있었다. 이는 a와 B를 한 쌍으로 잘못 연결한 식이다. 이 식으로 계산하면
6 / sin 45° = b / sin 30°
b = 3√2
가 되지만, 대응이 바뀌었으므로 사인법칙을 올바르게 적용한 결과가 아니다. 특히 A=30°보다 B=45°가 크므로 맞은편 변도 b>a여야 한다. 그런데 3√2는 6보다 작아 그림의 관계와도 맞지 않는다.
식보다 먼저 표시할 두 개의 화살표
풀이를 시작할 때 삼각형 그림에서 각 A의 맞은편 변에 a, 각 B의 맞은편 변에 b를 직접 표시한다. 그다음 답안에
a ↔ A, b ↔ B
를 적고 비례식을 세운다. 계산이 끝난 뒤에는 사용한 규칙을 역으로 적용한다.
6√2 / sin 45° = (6√2)/(√2/2) = 12
6 / sin 30° = 6/(1/2) = 12
두 값이 같으므로 b / sin B = a / sin A가 복원된다. 이 역검산까지 해야 숫자만 우연히 나온 답과 대응을 지킨 풀이를 구별할 수 있다.
분수와 정수가 섞인 조건에서 다시 확인하기
새 삼각형에서 A=60°, C=45°, a=4일 때 c를 구한다.
이번에는 a ↔ A, c ↔ C를 표시한 뒤
4 / sin 60° = c / sin 45°
를 세운다. 따라서
c = 4 × (√2/2) ÷ (√3/2) = 4√2/√3 = 4√6/3
이다. 역으로 확인하면
(4√6/3) / sin 45° = (4√6/3)/(√2/2) = 8√3/3
4 / sin 60° = 4/(√3/2) = 8√3/3
으로 일치한다. 새 수치에서도 변과 마주 보는 각을 먼저 표시하고, 마지막에 양쪽 비를 비교했다면 사인법칙의 적용 범위와 대응 관계를 실제 풀이에서 유지한 것이다.