조남동고3수학과외

조남동 고3수학과외: 접점 확인부터 시작하는 이차곡선 접선 풀이

조남동에서 목감고등학교를 다니는 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 풀이 순서를 짧게 고정했다. 같은 시흥시의 군서고등학교·은행고등학교·시흥고등학교·시흥능곡고등학교는 참고 학교일 뿐 조남동 소재 학교로 구분하지 않고, 학생의 실제 일정에 맞춰 접선 문제의 조건 확인을 반복했다.

접선의 기울기보다 먼저 확인할 것

포물선 y²=8x에서 초점은 (2, 0), 준선은 x=-2이다. 따라서 축은 x축이고, 오른쪽으로 열린 포물선이므로 접점의 x좌표와 부호를 먼저 살핀다.

접점이 (2, 4)라면 이 점이 곡선 위에 있는지 다음과 같이 확인해야 한다.

4²=16, 8×2=16

따라서 (2, 4)는 실제 접점 후보가 된다. 포물선 y²=4ax에서 a=2이므로 접선 공식은

yy₁=2a(x+x₁)

이다. (x₁, y₁)=(2, 4)를 대입하면

4y=4(x+2), y=x+2

를 얻는다.

학생이 실제로 적었던 오답과 수정

접점 (2, 4)를 대입하지 않고, 기울기 1을 얻은 뒤 접선식을 y=x+4로 작성함.

y=x+4는 오답이다. 접점 (2, 4)를 넣으면 왼쪽은 4, 오른쪽은 6이므로 접선을 지나지 않는다. 더 근본적으로는 접점이 포물선 위에 있는지 확인하지 않은 채 식을 세웠고, 절편을 접점의 y좌표와 혼동했다.

• 틀린 줄에 밑줄을 긋고 접점 좌표를 표시한다.
• y₁²=4ax에 (2, 4)를 대입해 16=16인지 확인한다.
• 접선 공식 yy₁=2a(x+x₁)에 값을 다시 넣어 4y=4(x+2)로 고친다.
• 수정한 식 y=x+2에 (2, 4)를 대입해 4=4인지 검산한다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 포물선을 y²=-12x, 접점을 (-3, 6)으로 바꾼다. 이때 4a=-12이므로 a=-3이고, 포물선은 왼쪽으로 열린다.

접점 확인은 6²=36, -12×(-3)=36이므로 성립한다. 접선 공식에 대입하면

6y=-6(x-3)

따라서 접선은 y=-x+3이다. 실제로 (-3, 6)을 대입하면 6=6이고, 부호가 바뀐 포물선에서도 축의 방향과 접점의 좌표를 먼저 확인했기 때문에 같은 오류를 피할 수 있다.

이 학생은 평일 귀가 후 개념 암기보다 ‘곡선 위의 점인가 → 초점·준선과 축의 방향은 무엇인가 → 접선식 대입 → 원점검’의 순서로 한 문제를 정리했다. 접선 문제의 계산량보다 변수와 조건의 관계를 먼저 확인하는 방식이다.