조남동 고2수학과외: 망원형 합에서 인덱스 범위부터 확인하기
수열의 합 문제에서 계산은 맞는 것처럼 보이는데 답이 달라지는 경우가 있다. 특히 1/[k(k+1)] 꼴은 앞뒤 항이 지워지는 망원형 합이지만, 시작 인덱스와 끝 인덱스를 빠뜨리면 어떤 항이 남는지 결정할 수 없다. 목감고등학교의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 복습할 때도 이런 서술형 계산 흔적을 남기는 연습이 필요하다. 군서고등학교·은행고등학교·시흥고등학교·시흥능곡고등학교는 같은 시흥시 내 참고 학교이며 조남동 소재 학교와는 구분해야 한다.
첫 항과 끝 항만 남긴 풀이의 문제
다음 합을 계산해 보자.
S = ∑k=38 1/[k(k+1)]
학생의 풀이에는 다음 줄이 적혀 있었다.
S = 1/3 - 1/9
이 식은 망원형 합의 방향은 알고 있지만, 중간 항이 어떻게 소거되는지와 인덱스 범위를 기록하지 않은 상태다. 따라서 결과 자체는 우연히 맞더라도 풀이로는 시작점과 끝점의 근거가 드러나지 않는다.
분해한 뒤 k=3부터 k=8까지 확인하기
먼저 한 항을 부분분수로 나눈다.
1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1)
이제 합의 범위를 유지해 펼치면
S = (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + (1/5 - 1/6) + (1/6 - 1/7) + (1/7 - 1/8) + (1/8 - 1/9)
중간 항들이 소거되어
S = 1/3 - 1/9 = 2/9
가 된다. 여기서 1/3은 첫 항의 양의 부분이고, 1/9는 마지막 항 k=8에서 생기는 1/(k+1) 부분이다. 끝항을 1/8로 쓰면 안 되는 이유도 이 전개에서 확인할 수 있다.
답안에 인덱스 범위를 고정해 쓰는 훈련
계산을 다시 하기 전에 학생이 남긴 줄 옆에 다음 조건을 적는다.
k=3, 4, 5, 6, 7, 8
그 뒤 반드시
∑k=38(1/k - 1/(k+1))
를 먼저 써서, 실제로 어떤 항들이 사라지는지 확인한다. 망원형 합은 “첫 항과 끝 항을 쓴다”로 끝나는 공식이 아니라, 주어진 인덱스 구간에서 인접한 항이 소거되는 구조다.
범위가 바뀐 합에서 처음 틀린 줄 찾기
다음 풀이를 검토한다.
T = ∑k=26 1/[k(k+1)]
= ∑k=26(1/k - 1/(k+1))
= 1/2 - 1/6
첫째 줄과 둘째 줄은 맞다. 하지만 k=6에서 남는 음의 항은 -1/(6+1)=-1/7이므로 셋째 줄이 처음 잘못된 줄이다.
T = 1/2 - 1/7 = 5/14
새로운 시작점과 끝점에서도 인덱스를 직접 적고, 마지막 분모가 끝 인덱스보다 1 큰 값인지 확인했다면 같은 누락을 피할 수 있다.