정왕동고2수학과외

정왕동고2수학과외, 시그마의 범위와 수열 유형을 먼저 판별하는 풀이

정왕동에는 정왕고등학교, 군서고등학교, 배곧고등학교, 서해고등학교, 함현고등학교, 경기스마트고등학교가 있다. 중학교 때보다 이동과 과제, 시험 준비가 함께 늘어나는 고2 시기에는 풀이 시간을 줄이려다 시그마의 범위나 수열의 종류를 생략하기 쉽다. 그러나 이 단원에서는 계산보다 먼저 “몇 번째 항을 더하는가”와 “항이 어떤 규칙으로 변하는가”를 확인해야 한다.

σ 기호에서 사라진 인덱스가 만든 오류

풀이 노트에는 다음 식이 적혀 있었다.

Σ(2k+1) = 35

값 자체는 맞을 수 있지만, 아래에서 시작 인덱스와 끝 인덱스를 지워 버리면 어떤 항을 더했는지 확인할 수 없다. 실제 계산은 다음처럼 남겨야 한다.

∑_k=1⁵(2k+1)=3+5+7+9+11=35

여기서 항은 a_k=2k+1인 등차수열이고, 공차는 2이다. 따라서 항의 개수는 5개이며, 범위가 k=1부터 5까지라는 정보가 합의 계산에 직접 들어간다.

등비항에 등차수열 합 공식을 적용한 순간

다른 문제에서는 다음과 같은 합을 등차수열로 처리했다.

∑_k=0⁴3·2^k=3+6+12+24+48

풀이에는 첫항 3, 마지막 항 48, 항의 개수 5를 이용해

5/2(3+48)=127.5

라고 적혀 있었다. 이 식이 틀린 이유는 항의 차이가 일정하지 않기 때문이다. 6-3=3이지만 12-6=6으로 달라진다. 대신 각 항의 비가 일정하여 공비가 2인 등비수열이다. 등비수열의 합은

S₅=3(2⁵-1)/(2-1)=93

이다. 즉, 등차수열은 차이, 등비수열은 비를 먼저 확인해야 한다.

답안에 남겨야 할 두 줄

재풀이할 때는 처음 어긋난 기호에 표시하고, 바로 아래에 올바른 중간식을 쓴다.

등차? 3, 6, 12, 24, 48
→ 차가 일정하지 않음, 공비 2인 등비수열

그 다음에는 범위를 다시 적는다.

k=0,1,2,3,4이므로 항의 개수는 5개
∑_k=0⁴3·2^k=3(2⁵-1)/(2-1)=93

시그마를 전개할 때도 시작값이 0인지 1인지에 따라 첫 항이 달라진다. ∑_k=1⁴2^k는 2+4+8+16이지만, ∑_k=0⁴2^k는 1+2+4+8+16이다.

항의 증가 방향까지 바꿔 확인하기

새로운 식으로 다음을 확인한다.

∑_n=1⁴24(1/2)^n-1

항은 24, 12, 6, 3이므로 일정한 차를 갖는 등차수열이 아니라 공비 1/2인 등비수열이다. 그래프에 점 (1,24), (2,12), (3,6), (4,3)을 표시하면 n이 증가할수록 항의 값은 감소하는 방향이다. 따라서 등차수열의 증가·감소 형태로 판단하지 않고, 공비가 0과 1 사이인 등비수열이라는 점을 근거로 합을 계산한다.

∑_n=1⁴24(1/2)^n-1 =24{1-(1/2)⁴}/{1-1/2}=45

마지막에는 식 아래에 반드시 “n=1부터 4까지, 총 4항”을 남긴다. 새로운 계수와 감소 방향에서도 수열의 유형, 인덱스 범위, 합 공식을 차례로 확인했다면 시그마 풀이가 조건에 맞게 연결된 것이다.