정왕동고1수학과외, 집합 등식은 양쪽 원소 포함으로 판정하기
정왕고등학교, 군서고등학교, 배곧고등학교 등 정왕동의 고등학교 생활에서는 중학교 때보다 짧은 시간 안에 풀이와 답안을 함께 완성해야 하는 상황이 늘어난다. 통학과 과제가 겹친 시간에는 집합 문제의 확인 표시를 생략하기 쉽지만, 집합 등식은 계산 결과만 보고 판단할 수 없다.
한쪽 방향만 보고 멈춘 집합 풀이
다음 두 집합을 비교해 보자.
A = {x | x는 정수이고 -2 ≤ x ≤ 3}
B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
학생은 A의 원소를 나열해 A = B라고 적었지만, 양쪽 원소를 대조하는 표시를 남기지 않은 채 다음 문항으로 넘어갔다. 시간 제한이 생기면 확인 표시를 생략하고 답부터 적는 행동이 나타났고, 혼자 풀 때도 “A의 모든 원소가 B에 들어가고, B의 모든 원소가 A에 들어간다”는 판단을 말로 확인하지 않았다.
이 문제에서 A의 원소는 실제로 -2, -1, 0, 1, 2, 3이다. 따라서 두 집합은 같은 원소를 가진다. 다만 집합 등식의 근거는 나열 결과 하나가 아니라 양방향 포함이다.
등식의 근거를 두 개의 포함 관계로 나누기
집합의 등식 A = B를 확인하려면 다음 두 문장이 모두 참이어야 한다.
- A의 모든 원소가 B의 원소이다. 즉, A ⊆ B
- B의 모든 원소가 A의 원소이다. 즉, B ⊆ A
위 예에서는 A의 원소 -2, -1, 0, 1, 2, 3이 모두 B에 포함된다. 반대로 B에 적힌 각각의 수는 정수이고 -2 이상 3 이하이므로 A에도 포함된다. 그러므로 A ⊆ B와 B ⊆ A가 모두 성립하여 A = B이다.
원소를 한 번 나열했다는 사실과 두 집합이 같다는 결론 사이에 양쪽 포함 확인을 남긴다.
조건을 먼저 표시한 뒤 원소를 대조하는 훈련
훈련할 때는 답을 바로 쓰지 않고 풀이 시작 부분에 ① A ⊆ B ② B ⊆ A를 적는다. 그런 다음 각 방향의 근거를 실제 원소로 확인한다.
예를 들어 C = {x | x는 정수이고 -1 < x ≤ 4}, D = {0, 1, 2, 3, 4}라면 C의 조건에서 가능한 원소는 0, 1, 2, 3, 4이다. 따라서 C의 원소가 모두 D에 들어가고, D의 원소도 모두 -1보다 크고 4 이하이므로 C에 들어간다. 풀이 첫 줄에 두 포함 관계를 표시했는지가 확인 대상이다.
숫자를 바꾼 문제에서 먼저 확인하는가
새 문항으로 P = {x | x는 정수이고 -4 < x ≤ 2}, Q = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}를 제시한다. 학생이 먼저 P ⊆ Q와 Q ⊆ P를 적고, P의 경계 조건에서 -4는 제외되고 2는 포함된다는 점까지 설명하면 이전의 생략 행동이 수정된 것으로 볼 수 있다.
조건이 달라진 문항에서는 집합을 단순히 숫자 모양으로 외우지 않도록 한다. 예를 들어 원소 조건이 2x + x = 9로 주어진다면 숫자의 겉모양이 아니라 같은 문자 x를 가진 항끼리 묶어 3x = 9, 따라서 x = 3으로 정리한다. 그 뒤 얻은 원소를 다른 집합의 조건과 양쪽 방향으로 비교한다.
풀이 시작 전에 남아 있어야 할 흔적
정왕동에서 학교 수업, 과제, 통학 시간이 겹치는 날에도 집합 등식 문항의 풀이 첫 부분에 조건 표시와 양방향 포함 표시가 남아 있는지를 확인한다. 같은 숫자의 문제를 다시 맞혔는지가 아니라, 새로운 수치와 바뀐 조건에서도 이 표시를 먼저 하고 각 원소가 어느 집합에 포함되는지 설명하는지가 판단 기준이다.