능곡동고2수학과외

능곡동고2수학과외, 부분합에서 일반항을 복원하는 계산 점검

시흥능곡고등학교 고2 수학에서 수열의 합을 다룰 때는 공식을 외우는 것보다 부분합과 일반항의 관계를 정확히 구분하는 과정이 중요하다. 능곡동에서 귀가 후 과제나 학교 프린트를 확인할 때도 풀이 줄마다 어떤 근거로 식을 세웠는지 살펴보면 같은 오답이 반복되는 지점을 찾을 수 있다.

S₁에는 앞선 부분합을 만들지 않는다

다음과 같은 부분합이 주어졌다고 하자.

S_n = n² + 2n

일반항을 구할 때 학생의 풀이에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.

a_n = S_n - S_n-1
a₁ = S₁ - S₀

n≥2에서는 인접한 두 부분합의 차가 맞다.

a_n = S_n - S_n-1
= (n²+2n)-{(n-1)²+2(n-1)}
= n²+2n-(n²-2n+1+2n-2)
= 2n+1

하지만 이 식은 n≥2에서만 사용할 수 있다. 첫째항은 앞의 부분합이 없으므로 별도로 계산해야 한다.

S₁ = 1²+2·1 = 3
따라서 a₁ = 3

실제로 위에서 얻은 2n+1에 n=1을 넣으면 3이므로 결과적으로 a_n=2n+1로 정리할 수 있지만, 그 결론에 도달하는 과정에서 a₁=S₁을 확인해야 한다. S₀은 문제에서 정의되지 않았다. 임의로 S₀을 만들어 계산하는 것은 공식 적용 범위를 벗어난다.

계산 전에 네모 안에 적을 세 가지

부분합에서 일반항을 구하는 문제를 풀 때 다음 확인을 식 위에 먼저 표시한다.

• □ n=1이면 a₁=S₁
• □ n≥2이면 a_n=S_n-S_n-1
• □ S₀을 문제에서 정의했는지 확인

그다음 문제의 빈칸을 다음처럼 채운다.

S_n = 3n²-n일 때
a₁ = S₁ = 3-1 = 2
n≥2에서
a_n = S_n-S_n-1
= (3n²-n)-[3(n-1)²-(n-1)]
= 6n-4

따라서 일반항은 a₁=2, n≥2에서 a_n=6n-4이다. 이때 n=1을 대입한 2와 6n-4의 값 2가 우연히 일치하므로 a_n=6n-4로 합칠 수 있다. 그러나 처음부터 S₁-S₀으로 처리한 것은 올바른 근거가 아니다.

중간 근거가 비어 있는 문제로 확인하기

다음 문항은 계산 일부를 비워 둔다.

S_n = n²+5n일 때 a_n을 구하여라.

a₁ = 　　　　　　
n≥2에서 a_n = 　　　　　　
= (n²+5n)-{(n-1)²+5(n-1)}
= 　　　　　　

스스로 복원해야 할 답은 다음과 같다.

a₁=S₁=6
a_n=S_n-S_n-1 = 2n+4  (n≥2)

마지막으로 n=1을 대입하면 2·1+4=6이므로 전체 일반항은 a_n=2n+4이다. 풀이가 끝난 뒤에는 계산 결과를 다시 부분합에 넣어 확인한다.

(2·1+4)+(2·2+4)+⋯+(2n+4)
= 2(1+2+⋯+n)+4n
= n(n+1)+4n
= n²+5n

이처럼 새로운 식에서도 첫째항을 따로 확인하고, n≥2에서 차를 사용하며, 비어 있는 중간 근거를 직접 복원했다면 부분합과 일반항의 연결을 계산 줄에서 유지하고 있는지 확인할 수 있다.