능곡동고1수학과외: 서로소인 집합을 교집합의 공집합으로 나타내기
시흥능곡고등학교 과제와 시험 준비가 겹치는 시기에는 집합의 기호를 알고도 조건을 식으로 옮기는 과정에서 오답이 생길 수 있다. 특히 서로소인 집합은 두 집합에 동시에 들어가는 원소가 없다는 뜻이므로, 한쪽 목록에만 있는 원소를 교집합에 넣어서는 안 된다.
한쪽 목록의 원소가 교집합에 들어간 이유
다음 두 집합을 살펴보자.
A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6}
A와 B를 비교하면 어느 원소도 두 집합에 동시에 속하지 않는다. 따라서 공통 원소를 모은 교집합은
A ∩ B = ∅
이고, A와 B는 서로소인 집합이다.
서로소인 집합 ⇔ A ∩ B = ∅
그런데 문제를 푸는 과정에서 학생은 A의 원소만 보고 A ∩ B = {1, 3, 5, 7}이라고 적었다. 이 식은 A에 속하는 원소를 나열한 것이므로 A 자체를 나타내는 표현에 가깝다. 교집합에는 A와 B 양쪽에 동시에 속하는 원소만 들어갈 수 있다.
기호를 쓰기 전에 ‘양쪽에 동시에’ 표시하기
오답을 고칠 때 정답을 다시 베껴 쓰는 대신, 두 목록을 세로로 놓고 원소마다 양쪽에 존재하는지 표시하게 한다.
- 1: A에만 있음
- 2: B에만 있음
- 3: A에만 있음
- 4: B에만 있음
- 5: A에만 있음
- 6: B에만 있음
- 7: A에만 있음
양쪽에 함께 표시되는 원소가 없으므로 교집합에 모을 값도 없다. 이 과정을 거친 뒤에야 A ∩ B = ∅이라고 적는다. 오답노트에는 긴 풀이 대신 “교집합에는 두 집합에 동시에 속한 원소만 쓴다”라는 바뀐 행동 한 가지를 남긴다.
표현이 바뀌어도 같은 조건인지 확인하기
집합을 목록이 아니라 조건으로 제시해도 판단은 같다.
C = {x | x는 10보다 작은 짝수}, D = {x | x는 10보다 작은 홀수}
자연수 범위에서 보면 C = {2, 4, 6, 8}, D = {1, 3, 5, 7, 9}이다. 짝수이면서 동시에 홀수인 자연수는 없으므로
C ∩ D = ∅
이다. ‘짝수와 홀수는 겹치지 않는다’는 말과 ‘교집합이 공집합이다’라는 기호 표현이 같은 조건을 가리킨다는 점을 연결해야 한다.
배치가 달라진 검산 문제
이전 목록의 모양을 바꾼 확인 문제로 다음과 같은 좌표 원소를 사용한다.
P = {(1, 2), (3, 1), (4, 5)}
Q = {(2, 1), (3, 1), (5, 4)}
점의 위치를 볼 때 좌표를 (x, y) 순서로 읽으면 두 집합에 함께 속하는 점은 (3, 1) 하나이다. 따라서
P ∩ Q = {(3, 1)}
이다. (1, 2)를 (2, 1)로 바꾸어 읽거나, 점의 배치만 보고 비슷한 위치의 점을 공통 원소로 판단하면 안 된다. 새로운 배열에서도 x좌표와 y좌표의 순서를 먼저 확인하고, 실제로 같은 점인지 대조해야 한다. 공통 원소가 하나라도 있으면 두 집합은 서로소가 아니며, 교집합을 ∅로 쓰지 않는다.
능곡동에서 귀가 시각과 과제량을 함께 점검할 때도 집합 문제를 단순히 다시 적는 데 그치지 않고, 학교 프린트의 목록형 문제와 조건형 문제를 번갈아 짧게 확인하면 표현이 달라져도 ‘동시에 속하는가’라는 판단을 유지하는지 살필 수 있다. 같은 시흥시의 군서고등학교·은행고등학교·시흥고등학교·신천고등학교는 참고 학교일 뿐 능곡동 소재 학교로 구분하지 않으며, 학습 확인은 자녀의 실제 과제와 시험 준비 순서에 맞춰 진행하는 것이 적절하다.