신봉동 고3 수학과외에서 구의 방정식 첫 오류 찾기
신봉동의 신봉고등학교와 용인홍천고등학교 학생을 지도할 때는 귀가 시각과 과제량을 고려해 답안을 길게 다시 쓰기보다, 시험 준비 순서에 맞춰 처음 틀린 식을 찾는 연습부터 진행한다. 같은 수지구의 수지고등학교·서원고등학교·죽전고등학교 자료를 참고하더라도 이 학교들을 신봉동 소재 학교로 단정하지 않고, 학생의 실제 풀이 기록을 중심으로 점검한다.
마지막 답이 아니라 반지름을 정한 줄부터 확인하기
학생은 중심이 \(C(2,-1,3)\)이고 점 \(P(5,3,3)\)을 지나는 구의 방정식을 구하는 문제에서 다음과 같이 작성했다.
\(r^2=(5-2)^2+(3+1)^2+(3-3)^2=25\)
\((x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=5\)
위 답은 오답이다. 거리의 제곱은 \(25\)이므로 구의 방정식 오른쪽에는 반지름 \(r=5\)가 아니라 \(r^2=25\)가 들어가야 한다. 학생은 거리 계산 자체는 맞게 했지만, 다음 줄에서 \(r^2\)를 \(r\)로 바꾸는 최초 오류를 냈다.
정확한 식은 다음과 같다.
\[ CP^2=(5-2)^2+(3-(-1))^2+(3-3)^2=3^2+4^2=25 \]
따라서
\[ \boxed{(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=25} \]
중심과 반지름의 관계를 분리하면 \(r=5\), \(r^2=25\)이다. 학생이 쓴 식에 점 \(P(5,3,3)\)을 대입하면 왼쪽은 \(25\)인데 오른쪽은 \(5\)가 되어 \(25=5\)라는 모순이 생긴다.
오류 표시부터 역계산까지
- 오답 줄의 왼쪽 여백에 “제곱 누락”이라고 표시한다.
- 중심 \(C(2,-1,3)\)에서 점 \(P(5,3,3)\)까지의 좌표 차가 \((3,4,0)\)인지 확인한다.
- 거리식에서 \(CP^2=25\), \(CP=5\)를 구분해 표에 기록한다.
- 구의 표준형 \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)와 현재 식의 오른쪽 항을 비교한다.
- 수정한 식에 \(P\)를 대입해 왼쪽이 \(25\)인지 확인하고, 중심을 대입했을 때 왼쪽이 \(0\)인지 역검산한다.
이 과정을 거치면 마지막 답만 해설에 맞추는 습관에서 벗어나, 좌표 차이와 거리의 제곱이 식에 어떻게 연결되는지 확인할 수 있다. 특히 표에 ‘반지름 \(r=5\)’, ‘반지름 제곱 \(r^2=25\)’를 따로 적으면 같은 기호를 혼동하는 오류가 줄어든다.
대칭평면을 바꾼 독립 검증
다음에는 중심과 반지름을 바꾸지 않고 대칭 조건을 새롭게 확인했다. 구가 \(yz\)평면에 대칭이고 중심이 \(C(0,4,-2)\), 점 \(Q(3,4,-2)\)를 지나는 경우이다.
\[ CQ^2=(3-0)^2+(4-4)^2+(-2+2)^2=9 \]
따라서 \(r=3\), \(r^2=9\)이고 구의 방정식은
\[ \boxed{x^2+(y-4)^2+(z+2)^2=9} \]
이다. \(x\)가 제곱으로만 나타나므로 \(x\)의 부호를 바꾸어도 식이 변하지 않아 \(yz\)평면 대칭도 확인된다. \(Q\)를 대입하면 \(9=9\), 중심을 대입하면 \(0=9\)가 아니라 왼쪽 제곱합이 \(0\)이 되어 중심은 구의 내부 중심임을 구분할 수 있다. 이처럼 새로운 대칭평면과 계수로 다시 풀면서 반지름과 \(r^2\)를 근거와 검산으로 확인한다.