신봉동고2수학과외: 연속 조건을 끊긴 지점마다 세우는 연습
용인 수지구 신봉동에서 귀가 후 학교 프린트의 함수 문제를 정리할 때, 미지계수의 값을 맞히는 것보다 먼저 확인할 부분이 있다. 구간이 바뀌는 지점에서 함수의 값과 양쪽 극한이 이어지는지 계산 줄마다 추적해야 한다. 신봉고등학교와 용인홍천고등학교 학생의 시험 준비에서도 이 순서를 놓치면 답만 수정하고 불연속 원인은 남게 된다.
두 경계점에서 각각 연속 조건을 세워야 하는 식
다음 함수를 보자.
\(f(x)=\begin{cases} x+a & (x<1)\\ 2x+b & (1\le x<2)\\ x^2 & (x\ge2) \end{cases}\)
미지수는 \(a,b\) 두 개이고, 구간이 바뀌는 지점은 \(x=1,\ x=2\) 두 곳이다. 따라서 연속 조건도 두 곳에서 따로 만들어야 한다.
\(x=1\)에서는 왼쪽 식의 값과 가운데 식의 값을 맞춘다.
\[ 1+a=2+b \]
\(x=2\)에서는 가운데 식과 오른쪽 식을 맞춘다.
\[ 4+b=2^2=4 \]
두 번째 식에서 \(b=0\)이고, 이를 첫 번째 식에 대입하면
\[ 1+a=2,\qquad a=1 \]
따라서 \(a=1,\ b=0\)이다. \(x=2\)의 함수값만 보고 \(b=0\)으로 고친 뒤 첫 번째 경계점의 식을 세우지 않으면 \(a\)가 결정되지 않는다. 실제 답안에서 연속 조건 두 개가 필요한데 매개변수 식을 하나만 적는 오류가 이 지점에서 생긴다.
마지막 값만 고친 풀이가 왜 보존되지 않는가
예를 들어 \(b=0\)만 구한 뒤 \(a\)를 임의로 \(0\)이라고 쓰면 함수는
\(f(x)=\begin{cases} x & (x<1)\\ 2x & (1\le x<2)\\ x^2 & (x\ge2) \end{cases}\)
가 된다. \(x=2\)에서는 가운데 식의 값 \(4\), 오른쪽 식의 값 \(4\)가 같아 보이지만, \(x=1\)에서는
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1,\qquad f(1)=2 \]
이므로 연속이 아니다. 마지막 경계점의 값이 맞았다는 사실이 앞선 경계점의 연속까지 보장하지 않는다. 각 구간의 원래 식을 바꾸지 않고, 경계점마다 해당하는 두 식을 연결해야 한다.
대입값으로 불연속 위치를 먼저 드러내기
풀이를 고칠 때는 복잡한 극한 계산부터 하지 않고 경계점에 간단한 값을 대입한다. 위 식에서 \(x=1\)을 기준으로 왼쪽 식과 가운데 식을 비교하면
\[ 1+a\quad\text{와}\quad 2+b \]
가 나온다. 이 두 값이 다르면 \(x=1\)에서 끊긴다. \(x=2\)에서는
\[ 4+b\quad\text{와}\quad4 \]
를 비교한다. 이렇게 경계점을 세로로 표시하고, 그 점에 만나는 두 식을 나란히 적으면 마지막에 얻은 계수 하나만 고치는 방식에서 벗어날 수 있다.
새 식에서 연속 조건을 혼자 재현하기
다음 함수의 \(p,q\)를 구해 보자.
\(g(x)=\begin{cases} 3x+p & (x<0)\\ x+q & (0\le x<3)\\ 2x^2-3 & (x\ge3) \end{cases}\)
경계점 \(x=0\)에서는
\[ p=q \]
경계점 \(x=3\)에서는
\[ 3+q=2\cdot3^2-3=15 \]
따라서 \(q=12,\ p=12\)이다. 마지막으로 \(g(0)=12\)이고 \(x=0\)의 왼쪽 식도 \(12\), \(g(3)=15\)이며 가운데 식의 \(3\)에서의 값도 \(15\)인지 확인한다. 식을 변형해 임의로 값을 맞춘 것이 아니라, 원래 주어진 세 구간의 식을 보존한 채 두 경계점에서 조건을 각각 세웠는지가 확인 기준이다.