신흥동 통학권에서 익히는 표본평균의 변동 폭 점검
신흥동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 위례한빛고등학교·풍생고등학교·효성고등학교·복정고등학교·성보경영고등학교를 같은 수정구 통학권의 참고 학교로 보았다. 신흥역하늘채3단지와 신흥마을 일대에서 통학하며 과제와 시험을 병행하는 고3 학생은 풀이 결과보다 조건이 식에 어떻게 반영됐는지 확인하는 연습이 필요하다.
정답 숫자만 옮겨 적은 첫 오류
모집단의 시험 점수가 평균 70, 표준편차 12인 정규분포를 따른다고 하자. 크기 36인 표본을 반복 추출하면 표본평균 ̄X의 분포는
̄X ~ N(70, 122/36) = N(70, 22)
이다. 따라서 표본평균의 표준오차는 12/√36 = 2이다.
학생의 오답: ̄X ~ N(70, 122)이므로 표본평균의 표준편차는 12이고, 표본 크기 36은 신뢰구간 계산에만 사용한다.
이 식은 틀렸다. 표본평균은 36개의 관측값을 평균낸 값이므로 개별 자료의 표준편차 12가 그대로 유지되지 않는다. 분산은 σ2/n으로 줄어들고, 표준오차는 σ/√n이 된다. 학생은 정답으로 제시된 신뢰구간 숫자만 옮겨 적었을 뿐, 중간식의 첫 불일치인 12 → 12/√36을 찾지 못했다.
오답표를 한 줄씩 다시 만드는 과정
- 틀린 줄 표시: 표본평균의 표준편차를 12로 둔 줄에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: 표본 크기 n=36이고 각 표본이 독립이므로 표본평균의 분산은 σ2/n임을 옆에 적는다.
- 식 수정: SE = σ/√n = 12/6 = 2로 고친다.
- 신뢰구간 계산: 표본평균이 74일 때 95% 신뢰구간은 74 ± 1.96×2이므로 (70.08, 77.92)이다.
- 검산: 표본 크기를 36에서 144로 늘리면 표준오차가 12/12=1로 절반이 되는지 확인한다. 또한 표준화한 확률변수 Z=(̄X-70)/2가 표준정규분포를 따르는지 확인한다.
분포표를 작성할 때도 중간식 옆에 사용 규칙을 적는다. 예를 들어 Z가 표준정규분포이고 구간을 -1<Z<1, 1≤Z<2, 그 밖의 구간으로 나누었다면 각 확률을 더해 전체가 1이 되는지 확인한다. 표본 크기가 커져도 분포 폭이 같다는 판단은 표준오차 공식과 맞지 않는다.
표본 크기와 허용오차를 바꾼 독립 검증
이번에는 모집단 표준편차가 10, 표본 크기가 64, 표본평균이 52이고 90% 신뢰구간을 구한다고 하자. 90% 신뢰수는 z0.05=1.645이므로
SE = 10/√64 = 1.25
52 ± 1.645×1.25 = 52 ± 2.05625
따라서 신뢰구간은 약 (49.94, 54.06)이다. 새 조건에서도 먼저 σ/√n을 계산한 뒤 허용오차를 곱해야 하며, 표본 크기가 커졌다는 이유로 표준오차를 10으로 두지 않는다. 양끝 오차가 각각 약 2.06이므로 구간의 전체 길이는 약 4.11이고, 표본평균 분포의 폭과 신뢰구간의 폭을 혼동하지 않았는지도 마지막에 확인한다.