신흥동고2수학과외: 등비수열 일반항의 지수를 놓치지 않는 풀이
신흥동에서 위례한빛고등학교, 풍생고등학교, 효성고등학교, 복정고등학교 등 수정구 통학권 학교로 이동하며 과제와 시험 준비를 병행할 때는 짧은 풀이 한 줄의 정확성이 중요하다. 등비수열에서는 공비를 구한 뒤 일반항의 지수를 잘못 쓰면 이후 계산이 모두 달라진다.
an=a1rn으로 바뀐 계산 줄
예를 들어 등비수열의 첫째항이 3이고 공비가 -2일 때 네 번째 항을 구해 보자.
a4=3×(-2)4-1=3×(-2)3=-24
그런데 풀이 중 an=a1rn이라고 적으면 다음처럼 계산된다.
a4=3×(-2)4=48
이는 부호만의 문제가 아니다. 일반항 자체에서 지수를 하나 크게 잡았기 때문에 네 번째 항이 아니라 공비를 한 번 더 곱한 값이 된다. 실제 수열은 3, -6, 12, -24이므로 네 번째 항은 반드시 -24여야 한다.
첫째항을 대입해 지수의 출발점을 확인하기
일반항은 첫째항에서 출발해야 하므로
a1=a1r1-1=a1r0=a1
이 관계가 보존되어야 한다. 반대로 an=a1rn을 쓰면
a1=a1r
가 되어 첫째항에 이미 공비가 한 번 곱해진다. 따라서 답을 먼저 고치는 것보다 원래 조건인 첫째항과 공비의 위치가 보존되는지 확인해야 한다. 풀이 종이에는 일반항 아래에 n=1 → r0을 직접 적고, 계산 뒤에는 앞의 세 항을 짧게 나열해 비율을 점검한다.
식으로 바꾼 문항에서 다시 세우는지 확인
새 문제로 “첫 달 저축액이 5만 원이고 매달 이전 달의 2배가 되는 저축액을 an이라 하자. 5개월째 금액을 구하여라.”라고 제시한다.
조건을 식으로 옮기면 a1=5, r=2이므로
an=5×2n-1
따라서
a5=5×24=80
이때 5×25=160이라고 쓰지 않는지, 또 a1=5를 대입했을 때 식이 5로 돌아오는지 확인한다. 숫자와 상황이 달라져도 첫째항에서 출발하는 지수 구조를 처음부터 세우면 일반항 오류와 부호·비율 오류를 함께 줄일 수 있다.