수진동중3수학과외, 최빈값을 조건에 맞게 판별하는 연습
“최빈값은 가장 큰 수 아닌가요?” 수진동의 한 중3 학생은 자료가 4, 7, 7, 9, 12로 제시된 문제에서 12를 답으로 적었다. 값의 크기를 비교하는 데 익숙했지만, 최빈값은 가장 큰 자료가 아니라 가장 많이 나타난 자료라는 조건을 놓친 것이다. 계산 실수처럼 보이지만, 실제로는 자료의 역할을 구분하지 않은 상태에서 생긴 오답이었다.
가장 큰 값과 가장 많이 나온 값을 분리하기
최빈값을 찾을 때 첫 행동은 자료를 큰 순서로 고르는 것이 아니라, 같은 값이 몇 번 나타나는지 세는 것이다. 위 자료에서는 4와 9, 12가 각각 한 번씩 나오고 7만 두 번 나온다. 따라서 최빈값은 7이다. 12는 최댓값일 뿐 최빈값이 아니다.
학생은 처음에 자료를 왼쪽부터 읽으며 가장 큰 수에 동그라미를 쳤다. 이 표시를 지우고, 각 값 옆에 출현 횟수를 적도록 했다.
- 4: 1회
- 7: 2회
- 9: 1회
- 12: 1회
이제 답을 쓰기 전에 “가장 많이 반복된 자료가 있는가?”를 말하게 했다. 최빈값 문제에서 필요한 근거가 숫자 비교가 아니라 출현 횟수라는 점을 학생의 말과 기록에 함께 남기는 방식이다.
자료가 정렬되어 있어도 바로 눈으로 고르지 않기
다음 문제에서 학생은 2, 2, 3, 5, 5, 5, 8, 9를 보고 5를 바로 답했다. 이번에는 정답이었지만 풀이가 완성된 것은 아니었다. 우연히 연속해서 나타난 수를 알아본 것인지, 실제로 빈도를 비교한 것인지 확인할 필요가 있었다.
자료가 이미 작은 수부터 정렬되어 있으면 반복되는 값이 눈에 잘 들어온다. 그러나 최빈값은 자료의 배열 순서와 관계없이 정해진다. 학생에게 숫자의 순서를 바꾼 5, 8, 2, 5, 9, 3, 5, 2를 제시하자 처음에는 5와 2 중 무엇을 골라야 할지 멈췄다. 이때 자료를 다시 정렬하게 하기보다 값별 횟수표를 먼저 작성하게 했다.
5는 3회, 2는 2회, 8·9·3은 각각 1회이므로 최빈값은 5이다. 정렬은 보조 방법일 수 있지만, 최빈값을 결정하는 직접적인 기준은 횟수이다. 학생이 “앞에 있거나 큰 수라서”가 아니라 “3번 나타나서”라고 설명하도록 수정했다.
최빈값이 하나라는 조건부터 확인하기
최빈값은 언제나 하나라고 단정해서도 안 된다. 자료 3, 3, 6, 6, 8에서는 3과 6이 각각 두 번 나타나므로 최빈값은 3과 6, 두 개이다. 학생은 답란에 6만 적고, 두 값의 횟수가 같다는 사실을 확인하지 않았다.
이 장면에서는 ‘가장 많이 나타난 값’을 찾은 뒤 바로 멈추지 않고, 같은 최대 횟수를 가진 값이 더 있는지 끝까지 확인하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
- ① 서로 다른 자료값을 확인한다.
- ② 각 값의 출현 횟수를 센다.
- ③ 가장 큰 횟수를 찾는다.
- ④ 그 횟수를 가진 값을 모두 적는다.
반대로 모든 자료가 한 번씩만 나온 1, 4, 6, 8에서는 최빈값이 없다. 학생은 “가장 큰 값인 8을 최빈값으로 쓸 수 있다”고 했지만, 어느 값도 다른 값보다 많이 나타나지 않으므로 최빈값은 존재하지 않는다. 최빈값의 유무도 계산 결과가 아니라 조건 판별의 결과임을 연결했다.
문장 속 자료의 범위를 먼저 표시하기
학교 프린트에는 다음과 같은 문장이 있었다.
“다섯 학생의 수학 점수 60, 70, 70, 80, 90의 최빈값을 구하여라.”
학생은 점수 중 가장 높은 90을 고르려 했고, 교사가 “무엇을 조사한 자료인가?”라고 묻자 그제야 점수 목록을 다시 읽었다. 이 문제에서 구하는 대상은 평균이나 최고 점수가 아니라 반복 횟수가 가장 큰 점수이다. 따라서 70이 두 번 나타나 최빈값이다.
문장제에서는 숫자만 떼어 내지 않고 ‘점수’, ‘학생 수’, ‘신발 사이즈’처럼 자료의 대상을 표시하게 했다. 예를 들어 신발 사이즈 자료 230, 240, 240, 250, 260, 260에서는 240과 260이 각각 두 번이므로 최빈 신발 사이즈가 두 개라고 답해야 한다. 숫자가 무엇을 뜻하는지 확인하면, 여러 값을 하나로 잘못 줄이는 행동도 줄어든다.
수진동의 학습 동선에 맞춘 짧은 판별 훈련
수진동에서 수진중학교와 풍생중학교에 다니는 학생은 학교 수업이나 방과후 활동 뒤 수진동현대아파트, 수진마을 인근의 생활 동선으로 이동하며 공부 시간을 확보하는 경우가 있다. 이때 최빈값 문제를 긴 문제집 풀이로 늘리기보다, 이동 후 자습 시작 전에 자료 1~2개를 꺼내 조건만 판별하는 훈련이 효율적이다. 같은 수정구의 상원여자중학교, 성남문원중학교, 성남서중학교는 참고 학교이므로 수진동 소재 학교와 구분해 볼 필요가 있다.
학생에게는 매번 계산량을 늘리지 않고 다음 세 문장을 확인하게 했다.
- 가장 큰 값과 가장 많이 나온 값은 다를 수 있다.
- 가장 많이 나온 값이 둘 이상이면 모두 적는다.
- 모든 값이 한 번씩이면 최빈값은 없다.
이 세 문장을 자료 옆에 적은 뒤, 값별 횟수를 표시하게 하면 방과후 이동 뒤 짧은 시간에도 개념 판별을 반복할 수 있다. 단순히 최빈값 문제를 많이 푸는 것이 아니라, 답을 결정하는 조건을 먼저 꺼내는 연습이다.
숫자와 배열을 바꾼 독립 확인
며칠 뒤 도움 없이 다음 자료를 제시했다.
14, 11, 14, 16, 18, 11, 14
학생은 먼저 14와 11에 횟수를 적었다. 14는 3회, 11은 2회, 16과 18은 각각 1회이므로 최빈값을 14라고 답했다. 이어 자료를 18, 14, 11, 14, 16, 11, 14로 섞어도 같은 답을 얻었고, “배열이 바뀌어도 횟수가 가장 큰 자료는 14”라고 설명했다.
마지막으로 4, 6, 6, 9, 9, 12를 주었을 때는 6과 9를 모두 적었고, 2, 5, 7, 10에서는 최빈값이 없다고 판단했다. 이전에 맞힌 문제의 답을 기억한 것이 아니라, 새로운 배열과 조건에서 ‘횟수 세기 → 최대 횟수 비교 → 해당 값 모두 확인’의 첫 행동을 스스로 다시 사용했는지가 확인된 장면이었다.