수진동중2수학과외, 사건의 순서를 다시 연결하는 경우의 수 풀이
교과서 예제에서는 답을 맞히는데, 숫자나 표현이 조금만 바뀌면 연필을 멈추는 중2 학생이 있다. 특히 경우의 수 문제에서 첫 번째 선택과 두 번째 선택을 따로 세다가 곱해야 하는지 더해야 하는지 판단하지 못하는 장면이 자주 나타난다. 이때 중요한 것은 답만 외우는 것이 아니라, 사건의 각 단계에서 몇 가지 선택이 가능한지 적고 그 선택들이 어떻게 이어지는지 설명하는 일이다.
수진동에서 확보한 자습 시간을 문제 재현에 쓰는 이유
수진동에는 수진중학교와 풍생중학교가 있으며, 같은 수정구 안에는 상원여자중학교·성남문원중학교·성남서중학교가 참고 학교로 확인된다. 이 학교들은 수진동 소재 학교와 구분해 보아야 한다. 수진마을과 수진동현대아파트 등 생활권에서 방과 후 이동이 이어지는 만큼, 수업 뒤 긴 시간을 무작정 선행 진도에 쓰기보다 당일 경우의 수 문제를 혼자 다시 풀 수 있는지 확인하는 편이 효율적이다.
시험범위가 식, 함수, 도형, 확률까지 넓게 묶이면 학생은 맞힌 문제 수와 중3 선행 분량을 준비도의 기준으로 삼기 쉽다. 그러나 경우의 수 문제에서 풀이 과정을 재현하지 못한다면 선행을 늘려도 현재 단원의 판단 기준이 안정되지 않는다.
답을 맞혀도 풀이가 끊기는 실제 장면
예를 들어 상의 3벌과 바지 2벌 중 하나씩 골라 입는 방법을 묻는 문제에서 학생은 3+2=5라고 적는다. “상의 하나를 고른 뒤 바지를 고르는 상황”이라는 문장을 읽고도 두 선택이 차례로 이어진다는 점을 식에 반영하지 못한 것이다. 다른 문제에서는 모자 2개, 티셔츠 3개, 운동화 2켤레를 고르며 2×3×2=12까지 계산하지만, 왜 곱하는지 설명하라는 질문에는 “공식이라서요”라고 답한다.
또 사건을 순서대로 연결하지 않고 가능한 결과를 머릿속으로만 세다가 검은 티셔츠와 흰 티셔츠를 빠뜨리거나 같은 조합을 두 번 적는다. 이는 단순 계산 실수가 아니라 단계별 선택 수를 분리하지 않은 구조 이해의 문제다. ‘A 또는 B’처럼 둘 중 하나를 고르는 경우와 ‘A를 고른 뒤 B도 고르는’ 경우를 구별하지 못하는 것도 주요 원인이다.
가지 수를 보이게 만드는 풀이 훈련
먼저 문제의 행동을 시간 순서대로 잘라 쓴다. “첫째, 상의를 고른다. 둘째, 바지를 고른다”처럼 사건을 두 칸으로 나눈 뒤 첫 단계 옆에 3, 두 번째 단계 옆에 2를 표시한다. 이어 상의 한 벌마다 바지 2개가 연결된다고 말하게 한다. 따라서 2+2+2를 간단히 3×2로 나타낼 수 있고, 각 첫 선택마다 같은 수의 두 번째 선택이 이어질 때 곱셈이 사용된다는 점을 확인한다.
선택 수가 달라지는 문제에서는 수형도를 직접 그린다. 첫 번째 가지에서 빨강·파랑을 나누고, 빨강 아래에 숫자 1·2·3을, 파랑 아래에도 숫자 1·2·3을 연결한다. 마지막 결과를 손가락으로 짚으며 중복과 누락을 확인한다. ‘주사위를 한 번 던진 뒤 동전을 한 번 던지는’ 문제라면 주사위 6가지 각각에 동전 앞·뒤 2가지가 이어지므로 6×2=12가지라고 말하게 한다.
반대로 “국어 또는 수학 동아리 중 하나를 선택한다”처럼 동시에 고르지 않는 경우에는 선택지를 더한다. 두 상황을 구분하기 위해 학생은 식을 쓰기 전에 “순서대로 모두 하는가, 둘 중 하나만 하는가”를 문장으로 먼저 적는다. 선행 진도는 이 설명과 수형도 작성이 도움 없이 가능한지 본 뒤 조절한다.
한 학생의 풀이가 바뀐 과정
처음 수업에서 학생은 빨간 공 2개와 파란 공 3개 중 하나를 뽑고, 숫자 카드 1·2·3 중 하나를 고르는 문제에 2+3+3=8이라고 적었다. 공을 고르는 것과 카드를 고르는 것이 이어진다는 점을 놓쳤고, 어떤 숫자를 연결했는지도 표시하지 않았다.
학생은 먼저 공의 색을 두 갈래로 그리고 각 색 아래에 숫자 카드 세 장씩을 붙였다. 빨간 공에서 3가지, 파란 공에서도 3가지가 생기므로 3+3=6이라고 세었다. 이후 “공의 실제 개수는 결과의 종류를 구분하지 않으면 선택 수가 아니다”라는 점도 확인했다. 공이 서로 구별되는 문제라면 빨간 공 2개 각각에 카드 3장이 연결되어 2×3, 파란 공 3개에는 3×3이 연결되어 전체 15가지가 된다는 식으로 조건에 따라 달라짐을 구분했다.
이 과정에서 학생은 숫자만 바꾸어 다시 푸는 데 그치지 않고, ‘공의 색만 구별하는가, 공 하나하나를 구별하는가’를 조건 옆에 표시했다. 문제의 표현이 결과의 수를 바꾼다는 점을 실제 선택 목록으로 검증한 것이다.
새 조건에서 독립적으로 확인하기
검증 문제에서는 먼저 모자 4개와 외투 2개를 차례로 고르는 상황을 제시해 4×2=8을 구하게 한다. 다음에는 모자 4개 중 하나를 고르거나 외투 2개 중 하나만 고르는 상황을 주어 4+2=6으로 바꾸어 보게 한다. 단순히 앞 문제의 숫자를 바꾸는 것이 아니라 사건의 관계를 바꿔 판단하게 하는 것이다.
시간 제한도 둔다. 5분 안에 수형도 또는 단계별 표를 작성하고, 식 아래에 “각 모자마다 외투 2개가 연결되므로 곱한다”와 같은 설명을 한 문장으로 쓰게 한다. 이후 카드가 중복되는 조건, 선택 수가 3단계로 늘어난 조건, 같은 물건을 다시 고를 수 없는 조건을 차례로 제시한다. 새 문제에서 가지를 빠뜨리지 않고, 곱셈과 덧셈의 이유를 말하며 답을 검산할 때 비로소 현재 학습이 재현된 것으로 본다.
수진동중2수학과외에서 보는 준비 기준
중2 현행 문제를 혼자 풀지 못한 상태에서 중3 문제를 푼 양만 늘리지 않는다. 수진동의 방과 후 이동 시간과 자습 시간을 고려해 한 번의 수업에서 경우의 수 한 유형을 정하고, 수형도 작성, 선택 관계 설명, 조건이 바뀐 문제의 독립 풀이까지 확인한다. 성공한 문제와 보류한 문제를 나누어 기록한 뒤에만 다음 선행 분량을 정한다.
FAQ
경우의 수에서 언제 곱하나요?
여러 선택을 차례로 모두 하는 경우 각 단계의 선택 수를 곱한다. 상의 3벌과 바지 2벌을 함께 고르면 3×2이다.
언제 더하나요?
서로 동시에 하지 않고 둘 중 하나만 선택하는 경우 더한다. 모자 4개 또는 외투 2개 중 하나만 고르면 4+2이다.
수형도를 꼭 그려야 하나요?
가능한 결과의 중복과 누락을 확인해야 하는 문제라면 직접 그리는 것이 좋다. 특히 조건이 달라지거나 단계가 늘어날 때 풀이 근거가 분명해진다.