수진동 고3 수학과외에서 신뢰구간의 구조 바로잡기
수진동에서 방과 후 이동 시간을 고려해 자습 시간을 확보하던 학생은 모평균 추정 문제를 풀 때 계산보다 모집단, 표본, 신뢰수준의 관계를 먼저 확인하는 연습을 했다. 풍생고등학교를 중심으로 통학한 뒤 수진동현대아파트와 수진마을 생활권에서 자습을 이어 가며, 짧은 풀이도 표본의 크기와 오차 범위를 표시하도록 답안을 바꾸었다. 위례한빛고등학교·효성고등학교·복정고등학교·성보경영고등학교는 같은 수정구 내 참고 학교이며 수진동 소재 학교와는 구분했다.
표본평균에서 신뢰구간까지
모집단의 표준편차가 σ=10인 모집단에서 크기 n=25인 표본을 뽑아 표본평균이 72로 나왔다. 모평균의 95% 신뢰구간을 구하면 표준오차는
σ/√n=10/√25=2
이고, 95% 신뢰수준의 대표 경계값은 1.96이다. 따라서 오차 한계는
1.96×2=3.92
이므로 신뢰구간은
72-3.92≤μ≤72+3.92
즉, 68.08≤μ≤75.92이다.
표본평균은 구간의 중심이고, 표준오차는 표본평균의 흔들림 크기이다. 신뢰수준에 따른 경계값은 표준오차에 곱해진다.
실제 답안에서 표시한 오답
학생은 처음에 다음과 같이 썼다.
72±1.96×10=72±19.6
이 식은 σ/√n인 표준오차를 빠뜨린 오답이다. 모집단 표준편차 10을 그대로 사용했으므로 표본 크기 25가 오차를 줄이는 효과가 반영되지 않았다.
또 다른 줄에서는
-1.96×2≤μ≤1.96×2
라고 적었다. 이 역시 틀렸다. 오차 한계 3.92만 계산하고 표본평균 72를 구간의 중심에 더하지 않았기 때문이다. 모평균 신뢰구간은 표본평균±오차 한계의 형태여야 한다.
틀린 줄부터 다시 검산한 과정
- 틀린 줄 표시: 72±1.96×10, -3.92≤μ≤3.92에 밑줄을 그었다.
- 조건 확인: 표본 크기 25이므로 표준오차는 10이 아니라 10/√25=2임을 확인했다.
- 식 수정: 72±1.96×(10/√25)=72±3.92로 고쳤다.
- 대입 검산: 양 끝점의 평균이 (68.08+75.92)/2=72인지 확인했다.
- 범위 검산: 오차 한계가 양수이고 신뢰구간이 표본평균을 중심으로 대칭인지 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 표본평균이 68, 모집단 표준편차가 12, 표본 크기가 100, 신뢰수준이 99%라고 바꾸었다. 99%의 경계값을 2.576으로 두면
표준오차=12/√100=1.2
오차 한계=2.576×1.2=3.0912
따라서 신뢰구간은
68-3.0912≤μ≤68+3.0912
즉, 약 64.91≤μ≤71.09이다. 학생은 해설 없이 다시 풀면서 표본평균 68을 중심에 놓고, 99%라는 조건에 맞는 2.576을 사용하지 않은 후보식을 스스로 제거했다.