수진동고2수학과외

수진동고2수학과외: 두 항만으로 등비수열을 정할 때 먼저 확인할 것

방과후 이동 뒤 확보한 자습시간에 풀이를 점검하던 중, 여백에 다음과 같은 계산이 남아 있었다.

a₂=4, a₄=16에서 r=4

하지만 이 결론은 원래 등비수열의 관계를 보존하지 않는다. 등비수열에서는 항번호가 두 칸 증가했으므로

a₄=a₂r²

를 사용해야 한다. 따라서

16=4r²
r²=4
r=2 또는 r=-2

a₄/a₂가 공비가 아닌 이유

a₄/a₂는 한 번의 공비가 아니라 두 번 곱한 값이다. 실제로 a₂에서 a₄까지는 다음 두 단계를 거친다.

a₂ → a₃ → a₄

그러므로

a₄/a₂=r^4-2=r²

이다. r=4라고 놓으면 a₄=4×4²=64가 되어 주어진 a₄=16과 맞지 않는다.

첫째항도 공비의 부호에 따라 달라진다

일반항 a_n=a₁r^n-1을 이용하면 두 경우를 각각 계산해야 한다.

따라서 별도의 조건이 없다면 가능한 조합은 (a₁, r)=(2,2), (-2,-2)이다. 문제에서 양의 공비 또는 모든 항이 양수라고 명시했다면 그때만 r=2, a₁=2로 좁힐 수 있다.

계산 뒤 네 항을 직접 복원하는 습관

두 후보를 얻은 뒤에는 원래 주어진 항을 다시 만들어 보아야 한다. 예를 들어 r=-2일 때

a₂=(-2)(-2)=4, a₄=(-2)(-2)³=16

이므로 조건을 만족한다. 이처럼 항번호 차이를 위에 적고, r²을 확인한 다음 a₁=a₂÷r로 되돌아가면 공비의 부호를 빠뜨리지 않게 된다.

그래프로 바꾸어도 두 경우를 구별할 수 있는가

새 조건으로 a₁=3, a₃=12가 주어졌다고 하자. 이번에는

12=3r² → r²=4 → r=2 또는 r=-2

이다. 따라서 가능한 수열은 각각

3, 6, 12, 24, …

3, -6, 12, -24, …

좌표평면에 (1,3), (2,6), (3,12)처럼 항을 점으로 표시하면 첫 번째 수열은 부호가 유지되고, 두 번째 수열은 항이 번갈아 위아래로 나타난다. 그래프 표현에서도 공비를 2로 단정하지 않고 r=±2를 유지하는지 확인해야 한다.

수진동현대아파트와 수진마을 주변에서 방과후 이동 시간을 조정해 짧게 풀이를 점검하더라도, 이 문제에서는 답만 적는 것보다 항번호 차이 → r의 거듭제곱 → 공비 후보 → 첫째항 → 원래 항 검산의 연결을 남기는 것이 중요하다. 풍생고등학교 학습 자료를 정리할 때도 같은 순서가 새로운 수치와 표현에서 유지되는지를 확인해야 한다.